Псевдоскалярное произведение

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Magnitude cross product.png

Псевдоскалярным[1] или косым произведением векторов [math]\displaystyle{ \mathbf a }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf b }[/math] на плоскости называется число

[math]\displaystyle{ \mathbf a \wedge \mathbf b=|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|\sin\theta, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \theta = \angle(\mathbf{a}, \mathbf{b}) }[/math] — угол вращения (против часовой стрелки) от [math]\displaystyle{ \mathbf a }[/math] к [math]\displaystyle{ \mathbf b }[/math]. Если хотя бы один из векторов [math]\displaystyle{ \mathbf a }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf b }[/math] нулевой, то полагают [math]\displaystyle{ \mathbf a\wedge \mathbf b=0 }[/math]. Геометрически псевдоскалярное произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора. С её помощью удобно работать с площадями многоугольников, выражать условия коллинеарности векторов и находить углы между ними.

Псевдоскалярное произведение существует только для 2-мерных векторов, его аналогом в трехмерном пространстве является тройное скалярное произведение.

Свойства

  • Линейность: [math]\displaystyle{ \mathbf a \wedge (\lambda\mathbf b+\mu\mathbf c) = \lambda \mathbf a \wedge \mathbf b + \mu\mathbf a \wedge \mathbf c. }[/math] Здесь [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — произвольные вещественные числа.
  • Антикоммутативность: [math]\displaystyle{ \mathbf a \wedge \mathbf b = -\mathbf b\wedge \mathbf a }[/math].
  • [math]\displaystyle{ \mathbf a \wedge \mathbf b }[/math] является псевдоскаляром, то есть инвариантом при всех невырожденных изометриях, не включающих отражений.
  • Псевдоскалярное произведение [math]\displaystyle{ \mathbf a\wedge \mathbf b }[/math] — это ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на векторы [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf{b} }[/math].
    • Абсолютная величина псевдоскалярного произведения [math]\displaystyle{ |\mathbf a\wedge \mathbf b| }[/math] — это площадь такого параллелограмма.
    • Ориентированная площадь треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] выражается формулой
      [math]\displaystyle{ S(A,B,C)=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}), }[/math]
    а его площадь, следовательно, равна модулю этой величины.
  • Если рассматривать плоскость в трёхмерном пространстве, то
    [math]\displaystyle{ \mathbf a\wedge \mathbf b=\pm(\mathbf a \times \mathbf b)\cdot \mathbf n, }[/math]
где «[math]\displaystyle{ \times }[/math]» и «[math]\displaystyle{ \ \cdot }[/math]» соответственно — векторное и скалярное произведение, а [math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math] — единичный вектор нормали к плоскости. Знак плюс берется в случае, если правый базис на плоскости, дополненный вектором [math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math], образует также правый базис; в противном случае минус.
  • [math]\displaystyle{ \mathbf a \wedge \mathbf b = \mathbf 0 }[/math] — необходимое и достаточное условие коллинеарности ненулевых векторов на плоскости. Нулевой вектор для удобства работы с более употребительным скалярным произведением обычно считают ортогональным любому другому вектору, хотя это является произвольным соглашением.
  • Из линейности и антикоммутативности следует, что если на плоскости задан ортонормированный базис [math]\displaystyle{ \lang \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 \rang,~~\angle(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2) = \tfrac{\pi}{2}, }[/math] и два вектора, имеющих в нём координаты [math]\displaystyle{ \mathbf a = (a_1, a_2), ~~\mathbf b = (b_1, b_2), }[/math] то их псевдоскалярное произведение равно определителю
[math]\displaystyle{ \mathbf a \wedge \mathbf b = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf a\wedge \mathbf b = \sum_{i,\;j=1}^2 \varepsilon_{ij} a^i b^j }[/math]

См. также

Примечания

  1. Прасолов В. В., Задачи по планиметрии. Архивная копия от 16 ноября 2011 на Wayback Machine — 4-е изд., дополненное — М.: МЦНМО, 2001. — 584 с. ; ISBN 5-900916-82-0.