Симметричная матрица

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу [math]\displaystyle{ A }[/math], что [math]\displaystyle{ \forall i,j: a_{ij}=a_{ji} }[/math].

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

[math]\displaystyle{ A = A^T }[/math]

Примеры

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 6 \\ 0 & 6 & 5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix} }[/math]

Свойства

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:

[math]\displaystyle{ Av = \lambda_1 v,\ Aw = \lambda_2 w,\ \lambda_1 \ne \lambda_2 \implies v^T w = 0 }[/math]
  • из её собственных векторов всегда можно составить ортонормированный базис
  • матрицу A можно привести к диагональному виду: [math]\displaystyle{ A = QDQ^{T} }[/math], где [math]\displaystyle{ Q }[/math]ортогональная матрица, столбцы которой содержат ортонормированный базис из собственных векторов, а Dдиагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
  • Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], то она имеет диагональный вид: [math]\displaystyle{ A = \lambda E }[/math], где [math]\displaystyle{ E }[/math]единичная матрица, в любом базисе.
  • Для симметричной матрицы любая конгруэнтная матрица также является симметричной, т. е.

[math]\displaystyle{ A = A^{\mathrm{T}} \quad \Longrightarrow \quad X^{\mathrm{T}}AX = (X^{\mathrm{T}}AX)^{\mathrm{T}}. }[/math]

Положительно (отрицательно) определённые матрицы

Симметричная матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] размерностью [math]\displaystyle{ k \times k }[/math] называется положительно определённой если [math]\displaystyle{ \forall z \in \mathbb{R}^{k}\setminus \{\mathbf{0}\} }[/math] выполняется [math]\displaystyle{ z^{T}Az\gt 0. }[/math]
Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с соответствующим изменением знака неравенства.
Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.

См. также

Литература

  1. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969 (djvu).
  2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8.; (2-е изд.). — М.: Наука, 1966 (djvu).
  3. Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9
  4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — М.: Наука, 1968. — 432 с.