Симметричная матрица
Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу [math]\displaystyle{ A }[/math], что [math]\displaystyle{ \forall i,j: a_{ij}=a_{ji} }[/math].
Это означает, что она равна её транспонированной матрице:
- [math]\displaystyle{ A = A^T }[/math]
Примеры
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 6 \\ 0 & 6 & 5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix} }[/math]
Свойства
Симметричная матрица всегда квадратная.
Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:
- она имеет вещественные собственные значения
- её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:
- [math]\displaystyle{ Av = \lambda_1 v,\ Aw = \lambda_2 w,\ \lambda_1 \ne \lambda_2 \implies v^T w = 0 }[/math]
- из её собственных векторов всегда можно составить ортонормированный базис
- матрицу A можно привести к диагональному виду: [math]\displaystyle{ A = QDQ^{T} }[/math], где [math]\displaystyle{ Q }[/math] — ортогональная матрица, столбцы которой содержат ортонормированный базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
- Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], то она имеет диагональный вид: [math]\displaystyle{ A = \lambda E }[/math], где [math]\displaystyle{ E }[/math] — единичная матрица, в любом базисе.
- Для симметричной матрицы любая конгруэнтная матрица также является симметричной, т. е.
[math]\displaystyle{ A = A^{\mathrm{T}} \quad \Longrightarrow \quad X^{\mathrm{T}}AX = (X^{\mathrm{T}}AX)^{\mathrm{T}}. }[/math]
Положительно (отрицательно) определённые матрицы
Симметричная матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] размерностью [math]\displaystyle{ k \times k }[/math] называется положительно определённой если [math]\displaystyle{ \forall z \in \mathbb{R}^{k}\setminus \{\mathbf{0}\} }[/math] выполняется [math]\displaystyle{ z^{T}Az\gt 0. }[/math]
Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с соответствующим изменением знака неравенства.
Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.
См. также
Литература
- Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969 (djvu).
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8.; (2-е изд.). — М.: Наука, 1966 (djvu).
- Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9
- Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — М.: Наука, 1968. — 432 с.