Вектор-функция

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Векторная функция»)

Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb V }[/math] двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

  • одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в [math]\displaystyle{ \mathbb V }[/math] некоторую кривую;
  • m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в [math]\displaystyle{ \mathbb V }[/math], вообще говоря, m-мерную поверхность;
  • векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на [math]\displaystyle{ \mathbb V }[/math].

Вектор-функция одной скалярной переменной

Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной [math]\displaystyle{ \mathbf{r}(t) }[/math] отображает некоторый интервал вещественных чисел [math]\displaystyle{ t_1 \leqslant t \leqslant t_2 }[/math] в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).

Выбрав координатные орты [math]\displaystyle{ \mathbf{{\hat{i}}}, \mathbf{{\hat{j}}}, \mathbf{{\hat{k}}} }[/math], мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):

[math]\displaystyle{ \mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{{\hat{i}}}+y(t)\mathbf{{\hat{j}}}+z(t)\mathbf{{\hat{k}}} }[/math]

Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.

Говорят, что вектор-функция [math]\displaystyle{ \mathbf{r}(t) }[/math] имеет предел [math]\displaystyle{ \mathbf{r_0} }[/math] в точке [math]\displaystyle{ t=t_0 }[/math], если [math]\displaystyle{ \lim_{t\to t_0}|\mathbf{r}(t) - \mathbf{r_0}|= 0 }[/math] (здесь и далее [math]\displaystyle{ |\mathbf{v}| }[/math] обозначают модуль вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math]). Предел вектор-функции имеет обычные свойства:

  • Предел суммы вектор-функций равен сумме пределов слагаемых (в предположении, что они существуют).
  • Предел скалярного произведения вектор-функций равен скалярному произведению пределов сомножителей.
  • Предел векторного произведения вектор-функций равен векторному произведению пределов сомножителей.

Непрерывность вектор-функции определяется традиционно.

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции [math]\displaystyle{ \mathbf{r}(t) }[/math] по параметру:

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}\mathbf{r}(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h} }[/math].

Если производная в точке [math]\displaystyle{ t }[/math] существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут [math]\displaystyle{ x'(t),\ y'(t),\ z'(t) }[/math].

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

  • [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)+\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}+\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt} }[/math] — производная суммы есть сумма производных
  • [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} (f(t)\mathbf{r}(t))=\frac{df(t)}{dt}\mathbf{r}(t) + f(t)\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} }[/math] — здесь f(t) — дифференцируемая скалярная функция.
  • [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}\mathbf{r_2}(t) + \mathbf{r_1}(t)\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt} }[/math] — дифференцирование скалярного произведения.
  • [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} [\mathbf{r_1}(t)\mathbf{r_2}(t)]=\left [\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}\mathbf{r_2}(t)\right ] + \left [\mathbf{r_1}(t) \frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}\right] }[/math] — дифференцирование векторного произведения.
  • [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} (\mathbf{a}(t),\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t))=\left (\frac{d\mathbf{a}(t)}{dt},\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t),\frac{d\mathbf{b}(t)}{dt},\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t), \mathbf{b}(t), \frac{d\mathbf{c}(t)}{dt}\right) }[/math] — дифференцирование смешанного произведения.

О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.

Вектор-функция нескольких скалярных переменных

Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции [math]\displaystyle{ \mathbf{r}(u, v) }[/math] (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.

В координатах уравнение [math]\displaystyle{ \mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v) }[/math] имеет вид:

[math]\displaystyle{ x = x(u,\ v);\ y = y(u,\ v);\ z = z(u,\ v) }[/math]

Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будет две: [math]\displaystyle{ \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v} }[/math]. Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём [math]\displaystyle{ \left[\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}\right] }[/math] не обращается тождественно в ноль.

Координатная сетка на сфере

Кривые на этой поверхности удобно задавать в виде:

[math]\displaystyle{ u = u(t);\ v = v(t) }[/math],

где t — параметр кривой. Зависимости [math]\displaystyle{ u(t),\ v(t) }[/math] предполагаются дифференцируемыми, причём в рассматриваемой области их производные не должны одновременно обращаться в нуль. Особую роль играют координатные линии, образующие сетку координат на поверхности:

[math]\displaystyle{ u = t;\ v = const }[/math] — первая координатная линия.
[math]\displaystyle{ u = const;\ v = t }[/math] — вторая координатная линия.

Если на поверхности нет особых точек ([math]\displaystyle{ \left[\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}\right] }[/math] нигде не обращается в ноль), то через каждую точку поверхности проходят точно две координатные линии.

Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярных переменных см.: Теория поверхностей.

Литература