Индуктивная размерность

Индуктивная размерность — тип определения размерности топологического пространства, основанный на наблюдении, что сферы в Евклидовом пространстве имеют размерность на единицу меньше.

Существует два варианта определения индуктивной размерности, так называемые большая и малая индуктивные размерности; для пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] они обычно обозначаются [math]\displaystyle{ \mathrm{Ind}\, X }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{ind}\,X }[/math] соответственно. В большинстве топологических пространств встречающихся в приложениях обе размерности совпадают, и они также равны размерности Лебега.

Определение

По определению размерность пустого множества считается равной [math]\displaystyle{ -1 }[/math]; то есть

[math]\displaystyle{ \mathrm{ind}\,\varnothing=\mathrm{Ind}\,\varnothing=-1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{ind}\,X }[/math] — малая индуктивная размерность топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math], определяется как наименьшее число [math]\displaystyle{ n }[/math] такое, что для любой точки [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] и любой её открытой окрестности [math]\displaystyle{ U }[/math], существует открытое множество [math]\displaystyle{ W }[/math], что [math]\displaystyle{ \mathrm{ind}\,\partial W\le n-1 }[/math], то есть малая индуктивная размерность границы [math]\displaystyle{ W }[/math] не превосходит [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] и

[math]\displaystyle{ x\in W\subset \bar W\subset U, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \bar W }[/math] обозначает замыкание [math]\displaystyle{ W }[/math].

[math]\displaystyle{ \mathrm{Ind}\,X }[/math] — большая индуктивная размерность определяется похожим способом: как наименьшее число [math]\displaystyle{ n }[/math] такое, что для любого замкнутого множества [math]\displaystyle{ K\subset X }[/math] и любой его открытой окрестности [math]\displaystyle{ U }[/math], существует открытое множество [math]\displaystyle{ W }[/math], что [math]\displaystyle{ \mathrm{Ind}\,\partial W\le n-1 }[/math] и

[math]\displaystyle{ K\subset W\subset \bar W\subset U. }[/math]

Замечания

• Размерность Лебега является ещё одним вариантом определения размерности топологического пространства; термин «топологическая размерность» обычно используется именно для размерности Лебега, для пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] она обывно обозначаются [math]\displaystyle{ \dim X }[/math].

Свойства

• [math]\displaystyle{ \dim X = 0 }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \operatorname{Ind} X = 0. }[/math]
• (Теорема Урысона) для нормального пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] со счётной базой, выполняется равенство

  [math]\displaystyle{ \dim X = \operatorname{Ind} X = \operatorname{ind} X. }[/math]

Иначе говоря, у сепарабельных и метризуемых пространств, обе индуктивные размерности совпадают с размерностью Лебега.

• Для метризуемых пространств [math]\displaystyle{ X }[/math] выполнено следующее (Мирослав Катетов)

  [math]\displaystyle{ \dim X = \operatorname{Ind} X \ge \operatorname{ind} X. }[/math]

• Если пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] компактно и хаусдорфово то (П. С. Александров)

  [math]\displaystyle{ \operatorname{Ind} X \ge \operatorname{ind} X \ge \dim X. }[/math]

  • Оба эти неравенства могут быть строгими (В. В. Филиппов)

• Сепарабельное метрическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] удовлетворяет неравенству [math]\displaystyle{ \operatorname{Ind}X\le n }[/math] тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства [math]\displaystyle{ A }[/math] пространства [math]\displaystyle{ X }[/math], каждое непрерывное отображение [math]\displaystyle{ f:A\to \mathbb{S}^n }[/math] допускает непрерывное продолжение [math]\displaystyle{ F:X\to \mathbb{S}^n }[/math].

Литература

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
• Crilly, Tony, 2005, «Paul Urysohn and Karl Menger: papers on dimension theory» in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 844-55.
• R. Engelking, Theory of Dimensions. Finite and Infinite, Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2.

ISBN

1

3-88538-010-2

• V. V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel’skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.

ISBN

1

3-540-18178-4

• V. V. Filippov, On the inductive dimension of the product of bicompacta, Soviet. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250—254.
• A. R. Pears, Dimension theory of general spaces, Cambridge University Press (1975).