Изотропный вектор

Изотро́пный ве́ктор (нульвектор) — ненулевой вектор псевдоевклидова векторного пространства (над полем вещественных чисел) или унитарного векторного пространства (над полем комплексных чисел), ортогональный самому себе, или, что эквивалентно, имеющий нулевую длину в смысле скалярного произведения рассматриваемого пространства. Наименование изотропный связано с физическим понятием изотропии.

В евклидовых пространствах таких векторов нет — нулевой длиной обладают лишь векторы, равные нулю. В псевдоевклидовых пространствах изотропные векторы существуют и образуют изотропный конус. Именно, вектор [math]\displaystyle{ \xi \neq 0 }[/math] векторного пространства [math]\displaystyle{ E }[/math] над полем [math]\displaystyle{ F }[/math] вещественных или комплексных чисел с заданной в качестве скалярного произведения невырожденной билинейной формой [math]\displaystyle{ \Phi: E \times E \to F }[/math] с сигнатурой [math]\displaystyle{ (p, q) }[/math] изотропен, если [math]\displaystyle{ \Phi(\xi, \xi) = 0 }[/math].

Связанные понятия

Изотропный конус в пространстве [math]\displaystyle{ \R^3_1 }[/math]

• Изотропным конусом псевдоевклидова или унитарного векторного пространства называется множество, состоящее из всех векторов нулевой длины данного пространства, то есть всех изотропных векторов и нулевого вектора.

• Изотропное подпространство — подпространство псевдоевклидова или унитарного векторного пространства, целиком содержащееся в изотропном конусе этого пространства, то есть целиком состоящее из векторов нулевой длины. Подпространство является изотропным тогда и только тогда, когда любые два его вектора ортогональны друг другу. Максимальная размерность изотропного подпространства псевдоевклидова пространства сингатуры [math]\displaystyle{ (p, q) }[/math] не превосходит [math]\displaystyle{ \min(p, q) }[/math].

• Вырожденное подпространство — подпространство псевдоевклидова или унитарного векторного пространства, ограничение скалярного произведения на которое вырождено. Подпространство является вырожденным тогда и только тогда, когда оно содержит хотя бы один изотропный вектор, ортогональный всем остальным векторам этого подпространства. Очевидно, любое изотропное подпространство является вырожденным, но обратное не верно.

Примеры

Взаимное расположение плоскости [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] и изотропного конуса в пространстве [math]\displaystyle{ \R^3_1 }[/math]. Слева направо: плоскость [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] псевдоевклидова, вырожденная, евклидова.

• Простейший пример — изотропные векторы и изотропный конус в [math]\displaystyle{ \R^3_1 }[/math] — псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (2,1). Квадрат длины вектора [math]\displaystyle{ e = (x, y, z) }[/math] задается формулой [math]\displaystyle{ |e|^2 = \langle e, e \rangle = x^2 + y^2 - z^2 }[/math]. Изотропный конус — прямой круговой конус [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 - z^2 = 0 }[/math]. Изотропные подпространства — лежащие на нём прямые (образующие), вырожденные подпространства (отличные от изотропных) — плоскости, касающиеся изотропного конуса, то есть имеющие с ним ровно одну общую прямую. Все остальные плоскости являются либо евклидовыми (если пересекаются с изотропным конусом лишь в его вершине), либо псевдоевклидовыми сигнатуры (1,1) (если пересекаются с ним по двум различным прямым).

• Важнейший пример — изотропные векторы и изотропный конус в пространстве Минковского [math]\displaystyle{ \R^4_1 }[/math] — псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (1,3), используемом в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности. В этом пространстве каждый вектор e имеет четыре координаты: [math]\displaystyle{ e = (ct, x, y, z) }[/math], где [math]\displaystyle{ c }[/math] ― скорость света, и квадрат его длины задается формулой [math]\displaystyle{ |e|^2 = \langle e, e \rangle = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2 }[/math]. Изотропный конус пространства Минковского называется световым конусом, а изотропные векторы — световыми или светоподобными. Векторы, лежащие внутри светового конуса ([math]\displaystyle{ |e|^2 \gt 0 }[/math]), называются времениподобными, а векторы, лежащие вне светового конуса ([math]\displaystyle{ |e|^2 \lt 0 }[/math]), называются пространственноподобными.

Литература

• Изотропный вектор — статья из Математической энциклопедии. А. Б. Иванов
• Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия: методы и приложения. — 4-е издание. — М.: Эдиториал УРСС, 1998. — Т. 1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. — С. 49—52. — 320 с. — ISBN 5-901006-02-X.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009 (гл. 7, пар. 7).
• Ремизов А. О. Об изоморфизмах псевдоевклидовых пространств, Матем. образование, 2018, № 2(86), 15–39.