Диагональная матрица

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю:

[math]\displaystyle{ D=\begin{bmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_{22} & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & d_{nn} \end{bmatrix} }[/math].

Диагональная матрица [math]\displaystyle{ D }[/math] с элементами [math]\displaystyle{ (d_{1},d_{2},\dots,d_{n}) }[/math], стоящими на главной диагонали, обозначается [math]\displaystyle{ \mathrm{diag}\,\{d_{1},d_{2},\dots,d_{n}\} }[/math].

Является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной. Диагональная матрица симметрична: [math]\displaystyle{ D^\intercal=D }[/math]. Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.

Диагональные матрицы можно складывать и перемножать почленно:

[math]\displaystyle{ \mathrm{diag}\,\{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\}+\mathrm{diag}\,\{b_{1},b_{2},\dots,b_{n}\}=\mathrm{diag}\,\{a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots,a_{n}+b_{n}\} }[/math],

[math]\displaystyle{ \mathrm{diag}\,\{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\}\mathrm{diag}\,\{b_{1},b_{2},\dots,b_{n}\}=\mathrm{diag}\,\{a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots,a_{n}b_{n}\} }[/math].

Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов: [math]\displaystyle{ \mathrm{det}\,D=d_{11}d_{22}\dots d_{nn} }[/math].

Алгебраическое дополнение недиагонального элемента диагональной матрицы равно нулю, то есть:

[math]\displaystyle{ D_{ij}=\begin{cases}0,&i\ne j\\ \prod\limits_{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j\end{cases} }[/math].

Обратная матрица для диагональной матрицы равна:

[math]\displaystyle{ D^{-1}=\begin{bmatrix} d_{11}^{-1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_{22}^{-1} & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & d_{nn}^{-1} \end{bmatrix} = \mathrm{diag}\,\{d_{11}^{-1},d_{22}^{-1},\dots,d_{nn}^{-1}\} }[/math].

Диагональными являются нулевая матрица, единичная матрица, скалярная матрица (все элементы главной диагонали равны).

В некоторых случаях недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду путём замены базиса; достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы (в общем случае матрица приводима лишь к жордановой форме).