Пространство столбцов

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Вектор-строки матрицы. Пространство строк матрицы — это линейная оболочка вектор-строк.
Вектор-столбцы матрицы. Пространство столбцов матрицы — это линейная оболочка вектор-столбцов.

Пространство столбцов (также образ, область значений) матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] — это линейная оболочка (множество всех возможных линейных комбинаций) её вектор-столбцов. Пространство столбцов матрицы также является образом или областью значений соответствующего ей отображения.

Пусть [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] — некоторое поле. Пространство столбцов матрицы размера [math]\displaystyle{ m \times n }[/math] с компонентами из [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] является линейным подпространством координатного пространства [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^m }[/math]. Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превосходит [math]\displaystyle{ \min(m, n) }[/math][1]. Понятие также определено для матриц заданных над кольцом [math]\displaystyle{ \mathbb{K} }[/math].

Пространство строк определяется аналогично.

В данной статье рассматриваются матрицы над вещественными числами, то есть, пространства строк и столбцов являются подпространствами [math]\displaystyle{ \R^n }[/math] и [math]\displaystyle{ \R^m }[/math] соответственно[2].

Обзор

Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — матрица размера [math]\displaystyle{ m \times n }[/math].Тогда имеют место такие утверждения про её ранг [math]\displaystyle{ \operatorname{rank}A }[/math], где [math]\displaystyle{ \operatorname{rowsp}A }[/math] и [math]\displaystyle{ \operatorname{colsp}A }[/math] — её пространства столбцов и строк соответственно:

  1. [math]\displaystyle{ \operatorname{rank}A=\dim \operatorname{rowsp}A=\dim \operatorname{colsp}A }[/math][3],
  2. [math]\displaystyle{ \operatorname{rank}A }[/math] равен числу опорных элементов в любом ступенчатом виде [math]\displaystyle{ A }[/math],
  3. [math]\displaystyle{ \operatorname{rank}A }[/math] равен наибольшему числу линейно независимых строк или столбцов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math][4].

Пространство столбцов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] совпадает с множеством линейных комбинаций столбцов [math]\displaystyle{ A }[/math]. То есть, если [math]\displaystyle{ A = [a_1, \dots, a_n] }[/math], то [math]\displaystyle{ \operatorname{colsp}A = \operatorname{span}\{a_1, \dots, a_n\} }[/math], где [math]\displaystyle{ \operatorname{span}S }[/math] — линейная оболочка [math]\displaystyle{ S }[/math].

Действие матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] на некоторый вектор [math]\displaystyle{ x }[/math] может быть представлено как линейная комбинация столбцов [math]\displaystyle{ A }[/math] с коэффициентами, соответствующими координатам [math]\displaystyle{ x }[/math]. Значит, [math]\displaystyle{ Ax }[/math] всегда лежит в [math]\displaystyle{ \operatorname{colsp}A }[/math]. Таким образом, если рассматривать матрицу как линейное отображение из [math]\displaystyle{ \R^n }[/math] в [math]\displaystyle{ \R^m }[/math], то пространство столбцов матрицы будет соответствовать образу данного отображения.

Концепция пространства столбцов может быть обобщена на матрицы, заданные над полем комплексных чисел [math]\displaystyle{ \Complex }[/math] или, в общем случае, над произвольным полем [math]\displaystyle{ \mathbb F }[/math].

Пример

Дана матрицы [math]\displaystyle{ J }[/math]:

[math]\displaystyle{ J = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 & 2\\ -1 & -2 & 1 & 0 & 5\\ 1 & 6 & 2 & 2 & 2\\ 3 & 6 & 2 & 5 & 1 \end{bmatrix} }[/math]

Её строки:

  • [math]\displaystyle{ r_1 = [2,4,1,3,2] }[/math],
  • [math]\displaystyle{ r_2 = [-1, -2, 1, 0, 5] }[/math],
  • [math]\displaystyle{ r_3 = [1, 6, 2, 2, 2] }[/math],
  • [math]\displaystyle{ r_4 = [3, 6, 2, 5, 1] }[/math].

Следовательно, пространство строк матрицы [math]\displaystyle{ J }[/math] это подпространство [math]\displaystyle{ \R^5 }[/math], заданное как [math]\displaystyle{ \operatorname{span}\{r_1,r_2,r_3,r_4\} }[/math]. Это пространство четырёхмерно в силу того, что эти четыре строки линейно независимы. Кроме того, в данном случае все строки ортогональны вектору [math]\displaystyle{ n=[6,-1,4,-4,0] }[/math], из чего можно сделать вывод, что пространство строк состоит из всех векторов [math]\displaystyle{ \R^5 }[/math], которые ортогональны вектору [math]\displaystyle{ n }[/math].

Пространство столбцов

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] — некоторое поле скаляров, над которым задана матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ m \times n }[/math] со столбцами [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n }[/math]. Линейная комбинация этих векторов — это любой вектор вида:

[math]\displaystyle{ c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n, }[/math]

Где [math]\displaystyle{ c_1, c_2, \dots, c_n }[/math] — скаляры. Множество всех возможных комбинаций [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n }[/math] называется пространством столбцов [math]\displaystyle{ A }[/math]. То есть, пространство столбцов [math]\displaystyle{ A }[/math] — это линейная оболочка векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n }[/math].

Любая линейная комбинация столбцов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] может быть записана как умножение матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] на некоторый вектор-столбец:

[math]\displaystyle{ \begin{array} {rcl} A \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} & = & \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 a_{11} + & \cdots & + c_{n} a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{1} a_{m1} + & \cdots & + c_{n} a_{mn} \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} + \cdots + c_n \begin{bmatrix} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} \\ & = & c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n \end{array} }[/math]

Таким образом, пространство столбцов [math]\displaystyle{ A }[/math] состоит из всех возможных произведений [math]\displaystyle{ Ax }[/math], где [math]\displaystyle{ x \in \mathbb K^n }[/math], что то же самое, что образ (или область значений) соответствующего отображения.

Пример
Если [math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} }[/math], то её столбцы это [math]\displaystyle{ v_1 = [1, 0, 2]^T }[/math] и [math]\displaystyle{ v_2 = [0, 1, 0]^T }[/math].
Линейная комбинация [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ v_2 }[/math] — это любой вектор, имеющий следующий вид:
[math]\displaystyle{ c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ 2c_1 \end{bmatrix}\, }[/math] Множество всех таких векторов образует пространство столбцов [math]\displaystyle{ A }[/math]. В данном случае пространство столбцов это в точности множество векторов [math]\displaystyle{ [x,y,z] \in \R^3 }[/math], удовлетворяющих уравнению [math]\displaystyle{ z=2x }[/math].
В декартовой системе координат это множество соответствует некоторой плоскости, проходящей через начало отсчёт в трёхмерном пространстве.

Базис

Столбцы матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] порождают пространство столбцов, но они могут не образовывать базис если столбцы не линейно независимы. К счастью, элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейные зависимости между столбцами. Это позволяет находить базис в пространстве столбцов методом Гаусса.

Например, дана такая матрица:

[math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \end{bmatrix}\text{.} }[/math]

Столбцы этой матрицы не линейно независимы, что значит, что базис образует некоторое подмножество столбцов. Чтобы найти его, приведём [math]\displaystyle{ A }[/math] к ступенчатому виду по строкам:

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & 4 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} }[/math][5]

Первый, второй и четвёртый столбцы линейно независимы, в то время как третий является линейной комбинацией первых двух (точнее, [math]\displaystyle{ v_3 = -2v_1+v_2 }[/math]). Поэтому первый, второй и четвёртый столбцы образуют базис в пространстве столбцов:

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix},\;\; \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 5 \\ 2\end{bmatrix},\;\; \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \\ 1 \\ 8\end{bmatrix}\text{.} }[/math]

Стоит обратить внимание, что независимые столбцы это в точности столбцы, содержащие ведущие элементы, что позволяет сводить задачу поиска базиса в множестве столбцов к приведению матрицы к ступенчатому виду.

Алгоритм выше может быть использован для поиска зависимостей и нахождения базиса в любом множестве векторов. Также нахождение базиса пространства столбцов [math]\displaystyle{ A }[/math] эквивалентно нахождению оного для пространства строк транспонированной матрицы [math]\displaystyle{ A^T }[/math]. На практике (например, при работе с большими матрицами) для нахождения базиса обычно используется сингулярное разложение.

Размерность

Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы. Ранг равен числу ведущих элементов в ступенчатом виде матрицы, а также наибольшему числу её линейно независимых столбцов. Например, ранг матрицы выше равен [math]\displaystyle{ 3 }[/math].

Так как пространство столбцов это образ соответствующего отображения, ранг матрицы равен размерности образа. Например, для отображения [math]\displaystyle{ \R^4 \to \R^4 }[/math] заданного матрицей выше отображает [math]\displaystyle{ \R^4 }[/math] в некоторое трёхмерное подпространство.

Размерность ядра матрицы равна числу столбцов, которые не содержат ведущих элементов[6]. Ранг и размерность ядра матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] c [math]\displaystyle{ n }[/math] столбцами связаны уравнением:

[math]\displaystyle{ \operatorname{rank}(A) + \dim\ker(A) = n.\, }[/math]

Связь с коядром

Коядро (левый аннулятор) матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] это множество векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] таких что [math]\displaystyle{ \mathbf{x}^T A = 0^T }[/math]. Коядро матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] совпадает с ядром [math]\displaystyle{ A^T }[/math]. Произведение [math]\displaystyle{ A^T }[/math] на [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] может быть записано в виде скалярных произведений векторов

[math]\displaystyle{ A^T\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{x} \\ \vdots \\ \mathbf{v}_n \cdot \mathbf{x} \end{bmatrix}, }[/math]

Потому что строки [math]\displaystyle{ A^T }[/math] являются транспонированными столбцами [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_k }[/math] матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. Поэтому [math]\displaystyle{ A^T \mathbf{x}=0 }[/math] тогда и только тогда когда [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] ортогонален ко всем столбцам [math]\displaystyle{ A }[/math].

Отсюда следует, что коядро [math]\displaystyle{ A }[/math] (ядро [math]\displaystyle{ A^T }[/math]) — это ортогональное дополнение к пространству столбцов [math]\displaystyle{ A }[/math].

Для матрицы над кольцами

Аналогичным образом пространство столбцов (иногда с уточнением как правое пространство столбцов) может быть определено для матриц над кольцом [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] как:

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^n \mathbf{v}_k c_k }[/math]

Где [math]\displaystyle{ c_1, \dots, c_n \in \mathbb K }[/math]. Координатное пространство при этом меняется на правый свободный модуль, что также меняет порядок в умножении на скаляр вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_k }[/math] на скаляр [math]\displaystyle{ c_k }[/math] таким образом, что они записываются в порядке вектор-скаляр[7].

См. также

Примечания

  1. Линейная алгебра — очень хорошо изученная математическая дисциплина с огромным числом источников. Почти все материалы из этой статьи могут быть найдены в Lay (2005), Meyer (2001), и Strang (2005).
  2. Anton (1987, p. 179)
  3. Anton (1987, p. 183)
  4. Beauregard & Fraleigh (1973, p. 254)
  5. В указанных вычислениях используется метод Метод Гаусса — Жордана. Каждый из изображенных шагов включает несколько элементарных преобразований строк.
  6. Столбцы без ведущих элементов представляют свободные уравнения в соответствующей однородной системе линейных уравнений.
  7. Это важно только если [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] не коммутативно. В действительности такая форма это не более чем результат умножения [math]\displaystyle{ A\mathbf{c} }[/math] матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] на столбец [math]\displaystyle{ \mathbf c \in \mathbb K^n }[/math], в котором порядок множителей сохранён, в отличие от формулы выше.

Литература

  • Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0 
  • Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0 
  • Banerjee, Sudipto & Roy, Anindya (June 6, 2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics (1st ed.), CRC Press, ISBN 978-1-42-009538-8 
  • Beauregard, Raymond A. & Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X 
  • Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
  • Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall 
  • Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, <http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html>  Архивная копия от 31 октября 2009 на Wayback Machine
  • Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 
  • Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8 

Ссылки