Сопряжённый оператор

Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Линейная алгебра

Преобразование [math]\displaystyle{ \varphi^* }[/math] называется сопряжённым линейному преобразованию [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], если для любых векторов [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] выполнено равенство [math]\displaystyle{ \left( \varphi \left( x \right), y \right) = \left( x, \varphi^* \left( y \right) \right) }[/math]. У каждого преобразования существует единственное сопряжённое преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой [math]\displaystyle{ A^*=\Gamma^{-1} A^T \Gamma }[/math], если пространство евклидово, и формулой [math]\displaystyle{ A^*=\overline{\Gamma^{-1} A^T \Gamma} }[/math] в унитарном пространстве. [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если он ортонормированный, эти формулы принимают вид [math]\displaystyle{ A^*=A^T }[/math] и [math]\displaystyle{ A^*=\bar{A}^T }[/math] соответственно.

Общее линейное пространство

Пусть [math]\displaystyle{ E, \, L }[/math] — линейные пространства, а [math]\displaystyle{ E^*, \, L^* }[/math] — сопряжённые линейные пространства (пространства линейных функционалов, определённых на [math]\displaystyle{ E, \, L }[/math]). Тогда для любого линейного оператора [math]\displaystyle{ A\colon E \to L }[/math] и любого линейного функционала [math]\displaystyle{ g \in L^* }[/math] определён линейный функционал [math]\displaystyle{ f \in E^* }[/math] — суперпозиция [math]\displaystyle{ g }[/math] и [math]\displaystyle{ A }[/math]: [math]\displaystyle{ f(x)=g(A(x)) }[/math]. Отображение [math]\displaystyle{ g\mapsto f }[/math] называется сопряжённым линейным оператором и обозначается [math]\displaystyle{ A^*\colon L^* \to E^* }[/math].

Если кратко, то [math]\displaystyle{ (A^*g, x) = (g, Ax) }[/math], где [math]\displaystyle{ (B, x) }[/math] — действие функционала [math]\displaystyle{ B }[/math] на вектор [math]\displaystyle{ x }[/math].

Топологическое линейное пространство

Пусть [math]\displaystyle{ E, \, L }[/math] — топологические линейные пространства, а [math]\displaystyle{ E^*, \, L^* }[/math] — сопряжённые топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определённых на [math]\displaystyle{ E, \, L }[/math]). Для любого непрерывного линейного оператора [math]\displaystyle{ A\colon E \to L }[/math] и любого непрерывного линейного функционала [math]\displaystyle{ g \in L^* }[/math] определён непрерывный линейный функционал [math]\displaystyle{ f \in E^* }[/math] — суперпозиция [math]\displaystyle{ g }[/math] и [math]\displaystyle{ A }[/math]: [math]\displaystyle{ f(x)=g(A(x)) }[/math]. Нетрудно проверить, что отображение [math]\displaystyle{ g\mapsto f }[/math] линейно и непрерывно. Оно называется сопряжённым оператором и обозначается также [math]\displaystyle{ A^*\colon L^* \to E^* }[/math].

Банахово пространство

Пусть [math]\displaystyle{ A\colon X\to Y }[/math] — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] в банахово пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math] и пусть [math]\displaystyle{ X^*, Y^* }[/math] — сопряжённые пространства. Обозначим [math]\displaystyle{ \forall x\in X, f\in Y^* [Ax,f]=f(Ax) }[/math]. Если [math]\displaystyle{ f }[/math] — фиксировано, то [math]\displaystyle{ [Ax,f] }[/math] — линейный непрерывный функционал в [math]\displaystyle{ X, [Ax,f]\in X^* }[/math]. Таким образом, для [math]\displaystyle{ \forall f\in Y^* }[/math] определён линейный непрерывный функционал из [math]\displaystyle{ X^* }[/math], поэтому определён оператор [math]\displaystyle{ A^*\colon Y^*\to X^* }[/math], такой что [math]\displaystyle{ [Ax,f]=[x,A^*f] }[/math].

[math]\displaystyle{ A^* }[/math] называется сопряжённым оператором. Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определён не на всём пространстве.

Для [math]\displaystyle{ A^* }[/math] справедливы следующие свойства:

• Оператор [math]\displaystyle{ A^* }[/math] — линейный.
• Если [math]\displaystyle{ A }[/math] — линейный непрерывный оператор, то [math]\displaystyle{ A^* }[/math] также линейный непрерывный оператор.
• Пусть [math]\displaystyle{ O }[/math] — нулевой оператор, а [math]\displaystyle{ E }[/math] — единичный оператор. Тогда [math]\displaystyle{ O^*=O, E^*=E }[/math].
• [math]\displaystyle{ (A+B)^*=A^*+B^* }[/math].
• [math]\displaystyle{ \forall\alpha\in\mathbb C, (\alpha A)^*=\bar{\alpha}A^* }[/math].
• [math]\displaystyle{ (AB)^*=B^*A^* }[/math].
• [math]\displaystyle{ (A^{-1})^*=(A^*)^{-1} }[/math].

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве [math]\displaystyle{ H }[/math] теорема Рисса даёт отождествление пространства со своим сопряжённым, поэтому для оператора [math]\displaystyle{ A\colon H \to H }[/math] равенство [math]\displaystyle{ (Ax, y) = (x, A^*y) }[/math] определяет сопряжённый оператор [math]\displaystyle{ A^*\colon H \to H }[/math]. Здесь [math]\displaystyle{ (x, y) }[/math] — скалярное произведение в пространстве [math]\displaystyle{ H }[/math].

См. также

• Эрмитов оператор

Литература

• Шефер Х. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.
• Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. — М.: Вузовская книга, 2000. — 320 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.
• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.