Транспонированная матрица

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Транспонированная матрица — матрица [math]\displaystyle{ A^T }[/math], полученная из исходной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размеров [math]\displaystyle{ m \times n }[/math] — матрица [math]\displaystyle{ A^T }[/math] размеров [math]\displaystyle{ n \times m }[/math], определённая как [math]\displaystyle{ A^T_{ij} = A_{ji} }[/math].

Например,

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} }[/math] и [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \; }[/math]

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матриц

  • Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
[math]\displaystyle{ (A^T)^T= A }[/math]
  • Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
[math]\displaystyle{ (A + B)^T = B^T + A^T }[/math]
  • Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
[math]\displaystyle{ (AB)^T = B^TA^T }[/math]
  • При транспонировании можно выносить скаляр.
[math]\displaystyle{ (\lambda A)^T=\lambda A^T }[/math]
  • Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
[math]\displaystyle{ \det A = \det A^T }[/math]

Связанные определения

Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению [math]\displaystyle{ S^T=S }[/math].

Для того чтобы матрица [math]\displaystyle{ S }[/math] была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению [math]\displaystyle{ A^T=-A }[/math].

Для того чтобы матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

  • матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] была квадратной;
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть [math]\displaystyle{ A_{ij}=-A_{ji} }[/math].

Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: [math]\displaystyle{ A_{ii}=0 }[/math].

Для любой квадратной матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math] имеется представление [math]\displaystyle{ M=S+A }[/math],

где [math]\displaystyle{ S=\frac{M+M^T}{2} }[/math] — симметричная часть, [math]\displaystyle{ A=\frac{M-M^T}{2} }[/math] — антисимметричная часть.

См. также