Перейти к содержанию

Теорема косинусов

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Стандартные обозначения
Стандартные обозначения углов и сторон треугольника

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Формулировка

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:

a2=b2+c22bccosα.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними[1]

Доказательства

Следствия

  • Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника
    cosα=b2+c2a22bc
В частности,
  • Если b2+c2a2>0, угол α — острый
  • Если b2+c2a2=0, угол α — прямой (если угол α прямой, то теорема косинусов становится теоремой Пифагора)
  • Если b2+c2a2<0, угол α — тупой
  • Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде[2]:
a2=(b+c)24bccos2(α/2),
a2=(bc)2+4bcsin2(α/2).
  • Находя из двух последних формул в явном виде cos(α/2) и sin(α/2), получим известные формулы геометрии[2]:
    cosα2=p(pa)bc, sinα2=(pb)(pc)bc, tgα2=(pb)(pc)p(pa), где p — полупериметр.
  • Наконец, используя правые части формул для cos(α/2) и sin(α/2) и известную формулу площади треугольника: SABC=12bcsinα, а также известную формулу синуса двойного угла sinα=2sin(α/2)cos(α/2) после небольших преобразований получим известную формулу Герона для площади треугольника: SABC=p(pa)(pb)(pc), где p — полупериметр.

Для других углов

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

c2 =a2+b22abcosγ
b2 =a2+c22accosβ

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

α=arccos(b2+c2a22bc)
β=arccos(a2+c2b22ac)
γ=arccos(a2+b2c22ab)

История

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.[3]:105 Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения

Для евклидовых нормированных пространств

Пусть в евклидовом пространстве E задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть a=(a,a). Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема.
ab2=a2+b22(a,b)

Для четырёхугольников

Возводя в квадрат тождество AD=AB+BC+CD можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

d2=a2+b2+c22abcosB2accosω2bccosC, где ω — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

d2=a2+b2+c22abcosB+2accos(A+D)2bccosC
Формула справедлива и для тетраэдра, под w подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.
С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами a и c зная все ребра тетраэдра:
cosw=(b2+d2e2f2)/2ac
Где b и d, e и f пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольника

Четырехугольник

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами α,γ и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

e2f2=a2c2+b2d22abcdcos(α+γ)
  • Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
  • Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

Симплексы

SiSjcosA=(1)(n1+i+j)2n1((n1)!)2|0111110d122d132d1(n+1)21d2120d232d2(n+1)21d312d3220d3(n+1)21d(n+1)12d(n+1)22d(n+1)320|

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится dij или dji.

A — угол между гранями Si и Sj, Si -грань, находящаяся против вершины i,dij- расстояние между вершинами i и j.

См. также

Примечания

  1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
  2. Перейти обратно: 2,0 2,1 Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 51. — 832 с.
  3. Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991

Литература