Теорема косинусов
Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.
Формулировка
Для плоского треугольника со сторонами
.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними[1]
Доказательства
Следствия
- Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника
- В частности,
- Если
, угол α — острый - Если
, угол α — прямой (если угол α прямой, то теорема косинусов становится теоремой Пифагора) - Если
, угол α — тупой
- Если
- Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде[2]:
, .
- Находя из двух последних формул в явном виде
и , получим известные формулы геометрии[2]: , , , где p — полупериметр.
- Наконец, используя правые части формул для
и и известную формулу площади треугольника: , а также известную формулу синуса двойного угла после небольших преобразований получим известную формулу Герона для площади треугольника: , где p — полупериметр.
Для других углов
Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:
Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:
История
Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.
Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.[3]:105 Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.
В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.
Вариации и обобщения
- Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
- Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
- Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):
Для евклидовых нормированных пространств
Пусть в евклидовом пространстве
Теорема. |
Для четырёхугольников
Возводя в квадрат тождество
, где — угол между прямыми AB и CD.
Или иначе:
- Формула справедлива и для тетраэдра, под
подразумевается угол между скрещивающимися ребрами. - С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами
и зная все ребра тетраэдра: - Где
и , и пары скрещивающихся ребер тетраэдра.
Косвенный аналог для четырёхугольника
Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:
|
- Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
- Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.
Симплексы
при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится
A — угол между гранями
См. также
- Решение треугольников
- Скалярное произведение
- Соотношение Бретшнайдера
- Теорема косинусов для трёхгранного угла
- Теорема о проекциях
- Теорема Пифагора
- Сферическая теорема косинусов
- Теорема котангенсов
- Теорема синусов
- Теорема тангенсов
- Тригонометрические тождества
- Тригонометрические функции
Примечания
- ↑ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
- ↑ Перейти обратно: 2,0 2,1 Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 51. — 832 с.
- ↑ Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991
Литература
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84—85. — ISBN 5-94057-170-0.
Для улучшения этой статьи по математике желательно: |