Ортогональное преобразование

Ортогональное преобразование — линейное преобразование [math]\displaystyle{ A }[/math] евклидова пространства [math]\displaystyle{ L }[/math], сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов [math]\displaystyle{ x,y \in L }[/math] выполняется равенство

[math]\displaystyle{ \langle A(x),\,A(y) \rangle = \langle x,\,y \rangle, }[/math]

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение [math]\displaystyle{ \langle x,\,y \rangle }[/math] в пространстве [math]\displaystyle{ L }[/math].

Свойства

Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой ортонормированный.
Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования [math]\displaystyle{ A }[/math] является равенство
[math]\displaystyle{ A^*=A^{-1}, \qquad (*) }[/math]

где [math]\displaystyle{ A^* }[/math] — сопряжённое, а [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] — обратное преобразования.

В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] является равенство (*), где [math]\displaystyle{ A^* }[/math] — транспонированная, а [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] — обратная матрицы.
Собственные значения ортогональных преобразований по модулю равны [math]\displaystyle{ 1 }[/math], а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Например, собственные значения матрицы [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} }[/math] равны [math]\displaystyle{ \cos \varphi \pm i\cdot \sin \varphi }[/math], а собственные векторы равны [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 \\ \mp i \end{pmatrix} }[/math].
Определитель ортогонального преобразования равен [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (собственное ортогональное преобразование) или [math]\displaystyle{ -1 }[/math] (несобственное ортогональное преобразование).
В произвольном [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.
Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразования образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).

Размерность 2

В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], и его матрица в любом ортонормированном базисе имеет вид

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}. }[/math]

Матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}\ \cos\varphi& \ \ \sin\varphi\\ \sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}. }[/math]

Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1&\ \ 0\\ 0&-1\end{pmatrix}, }[/math]

то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi& \sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&\ \ 0\\ 0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\ \cos\varphi& \ \ \sin\varphi\\ \sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}. }[/math]

Размерность 3

В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.

Размерность n

Имеет место следующая общая теорема:

Для каждого ортогонального преобразования [math]\displaystyle{ A\colon L \to L }[/math] евклидова [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного пространства [math]\displaystyle{ L }[/math] справедливо такое разложение

[math]\displaystyle{ L = L_1 \oplus L_{-1} \oplus M_{\varphi_1} \oplus \ldots \oplus M_{\varphi_k}, }[/math]

где все подпространства [math]\displaystyle{ L_{1}, }[/math] [math]\displaystyle{ L_{-1} }[/math] и [math]\displaystyle{ M_{\varphi_i} }[/math] попарно ортогональны и являются инвариантными подпространствами преобразования [math]\displaystyle{ A }[/math], причём:

ограничение [math]\displaystyle{ A }[/math] на [math]\displaystyle{ L_1 }[/math] есть [math]\displaystyle{ E }[/math] (тождественное преобразование),
ограничение [math]\displaystyle{ A }[/math] на [math]\displaystyle{ L_{-1} }[/math] есть [math]\displaystyle{ -E }[/math],
все пространства [math]\displaystyle{ M_{\varphi_i} }[/math] двумерны (плоскости), и ограничение [math]\displaystyle{ A }[/math] на [math]\displaystyle{ M_{\varphi_i} }[/math] есть поворот плоскости [math]\displaystyle{ M_{\varphi_i} }[/math] на угол [math]\displaystyle{ \varphi_i }[/math].

В терминах матрицы преобразования эту теорему можно сформулировать следующим образом:

Для всякого ортогонального преобразования существует такой ортонормированный базис, в котором его матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] имеет блочно-диагональный вид:

[math]\displaystyle{ A = \left(\begin{matrix} \, 1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & \ddots & {} & {} & {} & {} & 0 & {} & {} \\ \, {} & {} & 1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & -1 & {} & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & \ddots & {} & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & {} & -1 & {} & {} & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & {} & {} & A_{\varphi_1} & {} & {} \\ \, {} & {} & 0 & {} & {} & {} & {} & \ddots & {} \\ \, {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & A_{\varphi_k} \\ \end{matrix}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ A_{\varphi_i} }[/math] — матрица поворота на угол [math]\displaystyle{ {\varphi_i} }[/math] (см. формулу выше), число единиц равно размерности подпространства [math]\displaystyle{ L_{1} }[/math] и число минус единиц равно размерности подпространства [math]\displaystyle{ L_{-1} }[/math].

Такая запись матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] ортогонального преобразования иногда называется приведением к каноническому виду.

См. также

Литература

Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра. — Физматлит, Москва, 1999.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука, 1966.
Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.