Квадрика
Ква́дрика, или квадри́ка, — n-мерная гиперповерхность в n+1-мерном пространстве, заданная как множество нулей многочлена второй степени. Если ввести координаты {x1, x2, ..., xn+1} (в евклидовом или аффинном пространстве), общее уравнение квадрики имеет вид[1]
- [math]\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n+1} x_i Q_{ij} x_j + \sum_{i=1}^{n+1} P_i x_i + R = 0. }[/math]
Это уравнение можно переписать более компактно в матричных обозначениях:
- [math]\displaystyle{ x Q x^T + P x^T + R = 0 }[/math]
где x = {x1, x2, ..., xn+1} — вектор-строка, xT — транспонированный вектор, Q — матрица размера (n+1)×(n+1) (предполагается, что хотя бы один её элемент ненулевой), P — вектор-строка, а R — константа. Наиболее часто рассматривают квадрики над действительными или комплексными числами. Определение можно распространить на квадрики в проективном пространстве, см. ниже.
Более общо, множество нулей системы полиномиальных уравнений известно как алгебраическое многообразие. Таким образом, квадрика является (аффинным или проективным) алгебраическим многообразием второй степени и коразмерности 1.
Квадрики в евклидовом пространстве
Квадрики на евклидовой плоскости соответствуют случаю n = 1, то есть являются кривыми. Обычно их называют не квадриками, а кониками или коническими сечениями.
Квадрики в (трёхмерном действительном) евклидовом пространстве имеют размерность n = 2 и называются поверхностями второго порядка. Проведя ортогональную замену базиса, любую квадрику в евклидовом пространстве можно привести к нормальной форме. В трёхмерном евклидовом пространстве существует 17 таких форм.[2] Из них 5 являются невырожденными (то есть матрица [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} Q & \dfrac{P^T}{2} \\ \dfrac{P}{2} & R \end{pmatrix} }[/math] является невырожденной[3]). Вырожденные формы включают в себя плоскости, прямые, точки и даже квадрики без действительных точек.[4]
| Невырожденные действительные квадрики в евклидовом пространстве | ||
|---|---|---|
| Эллипсоид | [math]\displaystyle{ {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1 }[/math] | 
|
| Эллиптический параболоид | [math]\displaystyle{ {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0 }[/math] | 
|
| Гиперболический параболоид | [math]\displaystyle{ {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0 }[/math] | 
|
| Однополостный гиперболоид | [math]\displaystyle{ {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 1 }[/math] | 
|
| Двуполостный гиперболоид | [math]\displaystyle{ {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = - 1 }[/math] | 
|
Аффинное и проективное пространство
Классификация квадрик в трёхмерном аффинном пространстве совпадает с классификацией квадрик в евклидовом пространстве.[5] Различие состоит в том, что любые две квадрики из одного класса можно перевести друг в друга аффинным преобразованием, тогда как соответствующее ортогональное преобразование существует не всегда (например, эллипсоид [math]\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1 }[/math] невозможно перевести движением в эллипсоид [math]\displaystyle{ 2x^2+2y^2+2z^2=1 }[/math]).
От квадрики в аффинном пространстве можно перейти к квадрике в проективном пространстве, введя однородные координаты. Пусть в аффинном пространстве введены координаты [math]\displaystyle{ (x_1,x_2,\ldots x_{n+1}), }[/math] тогда в уравнении квадрики достаточно домножить линейные члены на [math]\displaystyle{ x_0, }[/math] а свободный член на [math]\displaystyle{ x_0^2. }[/math] Уравнение проективной квадрики в однородных координатах имеет вид
- [math]\displaystyle{ Q(x)=\sum_{ij} a_{ij}x_ix_j=0. }[/math]
Без ограничения общности можно считать, что матрица [math]\displaystyle{ Q }[/math] симметрична, то есть [math]\displaystyle{ a_{ij}=a_{ji}. }[/math] Проективная квадрика называется невырожденной, если соответствующая ей квадратичная форма невырождена.
В действительном проективном пространстве, согласно закону инерции квадратичных форм, любую невырожденную квадратичную форму можно (проективным преобразованием) привести к виду
- [math]\displaystyle{ Q(x) = \pm x_0^2 \pm x_1^2 \pm\cdots\pm x_{n+1}^2 }[/math]
Поскольку сигнатура квадратичной формы является её инвариантом, в размерности n = 2 существует ровно три класса эквивалентности:
- [math]\displaystyle{ Q(x) = \begin{cases} x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2\\ x_0^2+x_1^2+x_2^2-x_3^2\\ x_0^2+x_1^2-x_2^2-x_3^2 \end{cases} }[/math]
Эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид принадлежат второму классу, а гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид — третьему (последние две квадрики являются примерами линейчатых поверхностей). Ни одна квадрика в действительном проективном пространстве не принадлежит первому классу, так как соответствующее уравнение определяет пустое множество. В комплексном проективном пространстве все невырожденные квадрики эквивалентны.
Произношение термина
- В словарях приводятся различные ударения: квадри́ка[6][7] («русское» произношение) и ква́дрика[8][9] («иностранное» произношение).
- В разговорном языке используется произношение как квадри́ка (Калининградская геометрическая школа), так и ква́дрика[10][11][12]. Не известно примеров другого произношения.
Литература
- Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 2, стр.795 (статья «Квадрика»). М.: Советская энциклопедия, 1979—1985.
Примечания
- ↑ Silvio Levy. geom.uiuc.edu Quadrics (англ.). Geometry Formulas and Facts, excerpted from 30th Edition of the CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press). Дата обращения: 30 июля 2013. Архивировано 18 июля 2018 года.
- ↑ Sameen Ahmed Khan. Quadratic Surfaces in Science and Engineering (англ.). Bulletin of the IAPT, 2(11), 327—330 (November 2010). (Publication of the Indian Association of Physics Teachers). Дата обращения: 30 июля 2013. Архивировано 13 августа 2013 года.
- ↑ Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. — С. 230. — 368 с.
- ↑ Stewart Venit, Wayne Bishop, Elementary Linear Algebra (fourth edition), International Thompson Publishing, 1996.
- ↑ П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. С.275.
- ↑ Математический энциклопедический словарь, Москва, Советская энциклопедия, 1988, стр. 265.
- ↑ О. Е. Иванова и др.; отв. ред. В. В. Лопатин. Русский орфографический словарь: - 2-е изд., 2005, 943 с., стр.285
- ↑ Lohwater's A.J. Russian-english dictionary of the mathematical sciences. Edited by R.P.Boas. 1990. стр 155
- ↑ Русско-португальский и португальско-русский физико-математический словарь / В. В. Логвинов. М.:Рус.яз., 1989, стр.114
- ↑ «поверхности степени 2 называются ква́дриками» 21 min 55 sec - 22 min 05 sec Архивная копия от 4 апреля 2016 на Wayback Machine (Летняя школа «Современная математика», 2015. Курс «Двадцать семь прямых».)
- ↑ «ква́дрика в проективном пространстве», 1 min - 1 min 05 sec Архивная копия от 4 апреля 2016 на Wayback Machine (Научно-образовательный центр МИАН. Курс «Классическая алгебраическая геометрия», 2015/2016.)
- ↑ «пусть X - это ква́дрика, предположим, что на этой ква́дрике существует точка», 6 min 36 sec - 6 min 56 sec Архивная копия от 4 апреля 2016 на Wayback Machine (Общеинститутский математический семинар Санкт-Петербургского отделения МИАН, 23 сентября 2010 г.)