Эллиптическая функция

Эллиптическая функция — в комплексном анализе периодическая в двух направлениях функция, заданная на комплексной плоскости. Эллиптические функции можно рассматривать как аналоги тригонометрических (имеющих только один период). Исторически, эллиптические функции были открыты как функции, обратные эллиптическим интегралам.

Определение

Эллиптической функцией называют такую мероморфную функцию [math]\displaystyle{ f }[/math], определённую на области [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], для которой существуют два ненулевых комплексных числа [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math], таких что

[math]\displaystyle{ f(z + a) = f(z + b) = f(z),\quad \forall z \in C, }[/math]

а также частное [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} }[/math] не является действительным числом.

Из этого следует, что для любых целых [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math]

[math]\displaystyle{ f(z + ma + nb) = f(z),\quad \forall z \in C }[/math].

Любое комплексное число [math]\displaystyle{ \omega }[/math], такое что

[math]\displaystyle{ f(z + \omega) = f(z),\quad \forall z \in C, }[/math]

называют периодом функции [math]\displaystyle{ f }[/math]. Если периоды [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] таковы, что любое [math]\displaystyle{ \omega }[/math] может быть записано как

[math]\displaystyle{ \omega = ma + nb, }[/math]

то [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] называют фундаментальными периодами. Каждая эллиптическая функция обладает парой фундаментальных периодов.

Параллелограмм [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] с вершинами в [math]\displaystyle{ 0 }[/math], [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ a + b }[/math] называется фундаментальным параллелограммом.

Свойства

Не существует отличных от констант целых эллиптических функций (первая теорема Лиувилля).
Если эллиптическая функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] не имеет полюсов на границе параллелограмма [math]\displaystyle{ \alpha + \Pi }[/math], то сумма вычетов [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] во всех полюсах, лежащих внутри [math]\displaystyle{ \alpha + \Pi }[/math], равна нулю (вторая теорема Лиувилля).
Любая эллиптическая функция с периодами [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] может быть представлена в виде
[math]\displaystyle{ f(z) = h\big(\wp(z)\big) + g\big(\wp(z)\big) \wp'(z), }[/math]

где h, g — рациональные функции, [math]\displaystyle{ \wp(z) }[/math] — функция Вейерштрасса с теми же периодами, что и у [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]. Если при этом [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] является чётной функцией, то её можно представить в виде [math]\displaystyle{ f(z) = h\big(\wp(z)\big) }[/math], где h рациональна.

Эллиптические функции неэлементарны, это было доказано Якоби в 1830-х годах.

См. также

Литература

Эллиптические функции // Кнэпп Э. Эллиптические кривые. — М.: Факториал Пресс, 2004.
Глава 11 // Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Государственное издание физико-математической литературы, 1960.