Ноль

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
У этого термина существуют и другие значения, см. Ноль (значения).
Символы со сходным начертанием: O · o · Ο · ο · О · о · Օ · օ · ‏ס‏‎ · ‏ه‏‎ · ዐ · ഠ · ဝ · ㅇ · ᴑ · ଠ · Ჿ · ჿ
0
ноль
← −2 · −1 · 0 · 1 · 2 →
Двоичное 0
Восьмеричное 0
Шестнадцатеричное 0
  • «Существуют две формы: ноль и нуль. В терминологическом значении (особенно в косвенных падежах) обычно используется вторая, например: равняется нулю, температура держится на нуле»[1].
  • «…производное прилагательное обычно образуется от формы нуль, например: нулевой меридиан, нулевая отметка»[1].

Ноль (0, нуль от лат. nullus — никакой[2]) — целое число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее[3], то есть даёт результат, равный этому последнему; умножение любого числа на ноль даёт ноль[4].

Большой толковый словарь Кузнецова (2009)[5] приводит обе формы слова: ноль, нуль — как равнозначные, хотя имеется некоторое различие в употреблении. В частности, форма нуль чаще используется в терминологии, особенно в косвенных падежах, она же берётся как основа для образования прилагательного нулевой — соответственно, форма ноль чаще употребляется в именительном падеже (см. врезку).

Ноль играет исключительно важную роль в математике и физике[6].

Ноль в математике

Цифра «ноль» в математике

Цифра «ноль» — математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. В настоящее время эта цифра почти всегда обозначается «0» (по индо-арабской записи цифр). Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд (например, в десятичной системе счисления, умножает на десять). Сравните, например, числа 410 и 4010; 416 и 4016 (нижний индекс означает основание системы счисления). Понятие нуля исторически появилось как особый цифровой символ, необходимый при записи чисел в позиционной системе счисления. Этот символ указывал на отсутствие значения в соответствующем разряде, что позволяло не путать, например, записи [math]\displaystyle{ 7, 70, 700. }[/math]

С цифрой 0 связаны особенно простые признаки делимости целых чисел.

В десятичной системе счисления:

  • Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на цифру 0.
  • Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на две цифры 0.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 1000, 10000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой 0, в десятичной системе особенно легко комбинируются с признаками делимости на 2 и на 5, например:

  • Число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.
  • Число делится на 50 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — 0 или 5.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 200, 500, 2000, 5000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой «0», в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления с основанием k, число делится на kn, если оно оканчивается на n нулей.

Число «ноль» в математике

Принадлежность к натуральным числам

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам[7], другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль[8].

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]. Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения[9]:

  • [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] — натуральные числа, включая ноль: [math]\displaystyle{ \{0,1,2,3,4\dots\} }[/math].
  • [math]\displaystyle{ \mathbb{N^*} }[/math] — натуральные числа без нуля: [math]\displaystyle{ \{1,2,3,4\dots\} }[/math].

Такие же, как в ISO, обозначения для множества натуральных чисел закреплены в российском ГОСТ 2011 года: Р 54521-2011, таблица 6.1[10]. Тем не менее в русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается, например, [math]\displaystyle{ \mathbb{N}_0, \Z_0 }[/math] и т. д.[8]

Основные свойства нуля

Отрицательные числа (красным) на числовой оси
Отрицательные числа (красным) на числовой оси
[math]\displaystyle{ a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0. }[/math]
  • При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль:
[math]\displaystyle{ 0/a = 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ a \neq 0. }[/math]

Деление на ноль

В самом деле, если обозначить [math]\displaystyle{ \frac{a}{0} = b }[/math], то по определению деления формально должно быть [math]\displaystyle{ b \cdot 0 = a }[/math], в то время как выражение [math]\displaystyle{ b \cdot 0 }[/math], при любом [math]\displaystyle{ b }[/math], равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента ни в каком поле.

Значения отдельных функций

  • Факториал нуля по соглашению[12] принят равным единице: [math]\displaystyle{ 0! = 1 }[/math]. При таком соглашении тождество [math]\displaystyle{ n!=(n-1)! \cdot n }[/math] будет верно и при [math]\displaystyle{ n=1. }[/math]
  • Результат возведения нуля в любую положительную степень равен нулю: [math]\displaystyle{ 0^a = 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ a \gt 0 }[/math]. Возведение нуля в любую отрицательную степень не имеет смысла.
  • Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице: [math]\displaystyle{ a^0 = 1 }[/math].
Связано это с тем, что функция двух переменных [math]\displaystyle{ x^y }[/math] в точке [math]\displaystyle{ \{0,0\} }[/math] имеет неустранимый разрыв.
В самом деле, вдоль положительного направления оси [math]\displaystyle{ X, }[/math] где [math]\displaystyle{ y=0, }[/math] она равна единице, а вдоль положительного направления оси [math]\displaystyle{ Y, }[/math] где [math]\displaystyle{ x=0, }[/math] она равна нулю. См. подробнее статью Ноль в нулевой степени.

Ноль в геометрии

  • Точку можно рассматривать как нульмерный объект.
  • Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси. Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат.
  • Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости. Точка трёхмерного пространства тоже называется началом координат, если все её координаты нулевые.
  • Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности.
  • На окружности расположения 0° и 360° совпадают.

Ноль в математическом анализе

  • При вычислении предела отношения [math]\displaystyle{ (a/b) }[/math], где [math]\displaystyle{ a \rightarrow 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ b \rightarrow 0 }[/math], возникает такая ситуация, что непосредственная подстановка даёт выражение [math]\displaystyle{ (0/0) }[/math], значение которого не определено. В процессе раскрытия неопределённостей возможны семь таких ситуаций, и в четырёх из них формально присутствует ноль: [math]\displaystyle{ \left ( \frac{0}{0} \right ) }[/math], [math]\displaystyle{ (0^0) }[/math], [math]\displaystyle{ (\infty^0) }[/math], [math]\displaystyle{ (0\cdot\infty) }[/math].
  • Также возможна вполне определённая ситуация, когда рассматривается односторонний (правый или левый) предел бесконечно малой величины:
  • Правый предел: [math]\displaystyle{ \lim_{x \to +0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=+\infty, }[/math] _ или _ [math]\displaystyle{ \left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} +0]{}~{+\infty} }[/math].
  • Левый предел: [math]\displaystyle{ \lim_{x \to -0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=-\infty, }[/math] _ или _ [math]\displaystyle{ \left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} -0]{}~{-\infty} }[/math].

Обобщения (ноль в общей алгебре)

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом, иногда — аддитивным нулём, чаще всего — нулём относительно сложения. Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица. (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу, или единицу относительно умножения — при наличии таковой.)

Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле. Например, квадратная нулевая матрица размера [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] является нулевым элементом кольца квадратных матриц [math]\displaystyle{ M_n(R) }[/math]. Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен, [math]\displaystyle{ p(x)\equiv 0 }[/math].

Ноль в информатике и вычислительной технике

Цифра «ноль» в информатике и вычислительной технике

Подавляющее большинство компьютеров опираются на двоичную систему, то есть их память содержит только нули и единицы. Нечисловые данные используют стандартную кодировку — например, логические понятия ИСТИНА и ЛОЖЬ обычно кодируются как 1 и 0 соответственно, а для текстовых данных разных языков разработана универсальная кодировка Юникод.

Пометки нулей, чтобы не путать их с буквой О

При работе с компьютером из-за опасности спутать цифру 0 с латинской или русской буквой О, что может вызвать серьёзные последствия, одно время действовала рекомендация[16] нуль перечёркивать[англ.]: [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math]. Иногда поступали наоборот: при программировании на ЭВМ «Минск-32» перечёркивали букву О, а не нуль[17]. Знакогенераторы многих текстовых терминалов, видеоадаптеров и матричных принтеров при работе в текстовом режиме также выводят нуль в перечёркнутом виде (некоторые принтеры имели встроенные переключатели для включения и отключения режима перечёркивания нуля)[18][19]. На дисплеях IBM 3270 цифра 0 изображалась с точкой в ​​центре. Визуальное различие цифры 0 от буквы О остаётся важным требованием к моноширинным шрифтам. В пропорциональных шрифтах буква О заметно шире нуля, так что перечёркивание обычно не требуется.

Перечёркнутый ноль не имеет отдельного символа Юникода; он может быть получен как символ U + 0030, сразу за которым идёт U + FE00, однако результат зависит как от текущего шрифта, так и от браузера. Иногда взамен используются сходные по виду значки скандинавской буквы (Ø), пустого множества (∅) или диаметра (⌀). Некоторые шрифты OpenType включают специальную опцию перечёркивания нуля, для чего в CSS имеется специальная опция font-feature-settings: zero.

Число «ноль» в информатике и вычислительной технике

В компьютерах существует понятие «машинного нуля» — это число с плавающей запятой и таким отрицательным порядком, которое воспринимается компьютером как ноль.

Ещё одна особенность представления данных в информатике: во многих языках программирования элементы массива данных нумеруются не с привычной единицы, а с нуля, так что описание real M(n) означает .массив [math]\displaystyle{ M_0, M_1\dots M_{n-1}. }[/math] Платформа Microsoft .NET Framework закрепила этот стандарт и даже перевела на него Visual Basic, который изначально использовал нумерацию с единицы.

В SQL-базах данных поле может иметь специальное значение NULL, которое означает не ноль, а неопределённое значение. Любое выражение, в котором участвует NULL, дает в результате NULL.

В математике [math]\displaystyle{ -0 = +0 = 0 }[/math]; то есть [math]\displaystyle{ -0, +0 }[/math] представляют одно и то же число, не существуют отдельные положительный и отрицательный нули. Однако в некоторых компьютерных форматах (например, в стандарте IEEE 754 или в прямом и обратном коде) для нуля имеются два различных представления: положительное (с положительным знаком) и отрицательное; см. подробнее −0 (программирование). На результаты вычислений, впрочем, эти различия не влияют.

Десятичное
представление 		Двоичное представление (8 бит)
прямой обратный дополнительный
+0        0000 0000        0000 0000        0000 0000       
-0        1000 0000        1111 1111       

История использования нуля

История цифры 0

Цифра 0 появилась одновременно с появлением позиционной (поместной) нумерации — десятичной в Индии и шестидесятиричной в Вавилоне.

Древний Восток

Вавилонские математики использовали для индикации шестидесятеричного нуля вначале пропуск, а затем — особый клинописный значок «двойной клин»; предполагается, что последний значок вавилоняне использовали начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше. Однако символ «двойной клин» вавилонских мудрецов никогда не имел самостоятельного значения и воспринимался не как цифра, а как отсутствие цифры; более того, он никогда не ставился в конце записи числа, так что, скажем, числа 2 и 120 (2×60) приходилось различать по контексту[20][21].

Цифра 0 отсутствовала в римской, греческой и китайской системах обозначения чисел. Без этой цифры обходились, назначая некоторым символам значения крупных чисел. Например, число 100 в греческой системе счисления обозначалось буквой Ρ, в римской — буквой C, в китайской — иероглифом 百.

Майя и инки

Пустая раковина — один из знаков нуля в системе счисления майя

Империя Майя существовала на полуострове Юкатан в период примерно с 300 года до н. э. по 900 год н. э. Майя использовали ноль в своей двадцатеричной системе счисления почти на тысячелетие раньше индийцев, однако только жрецами и только для календарных нужд (в повседневной жизни майя использовали иероглифическую пятеричную систему)[22]. Первая сохранившаяся стела с датой календаря майя датируется 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль, то есть 8 декабря 36 года до н. э.

Любопытно, что тем же знаком математики майя обозначали и бесконечность, так как он означал не ноль в европейском понимании слова, а «начало», «причину»[23]. Счёт дней месяца в календаре майя начинался с нулевого дня, который назывался Ахау.

В империи инков Тауантинсуйу для записи числовой информации использовалась узелковая система кипу, основанная на позиционной десятеричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном кечуа ноль обозначается словом кечуа ch'usaq (букв. «отсутствующий», «пустой»), но какое слово использовалось инками для обозначения нуля при чтении кипу, пока неясно, поскольку, например, в одних из первых кечуа-испанских (Диего Гонсалес Ольгин, 1608) словарях и первом аймара-испанском (Лудовико Бертонио, 1612) не было соответствия для испанского «cero» — «ноль».

Индия

В Индии цифра «ноль» именовалась санскритским словом śūnyaḥ («пустота»; «отсутствие») и широко использовалась в поэзии и священных текстах. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый символ для нуля обнаружен в индийском «манускрипте Бакхшали» от 876 г. н. э., он имеет вид жирной точки или закрашенного кружка, названного впоследствии śūnya-binduḥ «точка пустоты»[24][25].

От индийцев через арабов, называвших цифру 0 ṣifr (отсюда слова цифра, шифр, и итал. zero, ноль), она попала в Западную Европу[26].

Европа

В Вене хранится рукописная арифметика XV века, приобретённая в Константинополе (Стамбуле), в которой употребляются греческие числовые знаки вместе с обозначением нуля точкой[27]. В латинских переводах арабских трактатов XII века знак нуля (0) называется кружком — circulus. В оказавшем очень большое влияние на преподавание арифметики в западных странах руководстве Сакробоско, написанном в 1250 году и перепечатывавшемся в очень многих странах, ноль называется «thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili» — тэта, или тека, или кружок, или цифра, или знак ничего. Термин nulla figura — никакой знак — появляется в рукописных латинских переводах и обработках арабских трудов c XII века. Термин nulla имеется в рукописи Никола Шюке 1484 года и в первой печатной так называемой (по месту издания) Тревизской арифметике (1478)[28].

С начала XVI века слово «ноль» входит в повсеместное употребление в Германии и в других странах, сначала как слово чужое и в латинской грамматической форме, но постепенно оно принимает форму, свойственную данному национальному языку.

Россия

Леонтий Магницкий в своей «Арифметике» называет знак 0 «цифрой или ничем» (первая страница текста); на второй странице в таблице, в которой каждой цифре даётся название, 0 называется «низачто». В конце XVIII века во втором русском издании «Сокращения первых оснований математики» X. Вольфа (1791) нуль ещё называется цифрой. В математических рукописях XVII века, употребляющих индийские цифры, 0 называется «оном» вследствие сходства с буквой о[29].

История числа «ноль»

Хотя в египетской системе счисления цифра 0 отсутствует, египетские математики уже со Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) использовали вместо неё иероглиф нфр («прекрасный»), также означавший начало отсчёта в схемах храмов, пирамид и гробниц[30].

В китайских записях чисел цифра «нуль» также отсутствует, для обозначения числа «нуль» пользуются знаком 〇 — одним из «иероглифов императрицы У Цзэтянь».

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. οὐδέν — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление цифры «нуль», однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики.

В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.

См. также

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 Д. Э. Розенталь. Справочник по правописанию, произношению, литературному редактированию. Глава X. Правописание имен числительных. Архивная копия от 12 января 2015 на Wayback Machine М.: ЧеРо, 1999.
  2. ↑ Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
  3. ↑ Нуль // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 1082.
  4. ↑ Нуль // Большой Энциклопедический словарь. — 2000.
  5. ↑ Большой толковый словарь русского языка. Гл. ред. С. А. Кузнецов. Первое издание: СПб.: Норинт, 1998.
  6. ↑

    Самая важная цифра есть нуль. Это была гениальная идея — сделать нечто из ничего, дать этому нечто имя и изобрести для него символ.

    — Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Физматлит, 1959. — С. 77.
  7. ↑ Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. The historical roots of elementary mathematics (англ.). — Courier Dover Publications, 1976. — P. 254—255. — ISBN 0-486-13968-9., Extract of pages 254—255 Архивная копия от 10 мая 2016 на Wayback Machine
  8. ↑ 8,0 8,1 Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. — М.: Наука, 1981. — С. 9. — 560 с.
  9. ↑ International standard 80000-2:2009. Part 2. NCSU COE People. Дата обращения: 12 августа 2019. Архивировано 28 февраля 2019 года.
  10. ↑ ГОСТ Р 54521-2011 Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах (Переиздание) от 24 ноября 2011 - docs.cntd.ru. docs.cntd.ru. Дата обращения: 14 января 2022. Архивировано 9 июля 2021 года.
  11. ↑ 11,0 11,1 Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. — М.: «Педагогика», 1989. — С. 219.
  12. ↑ Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений / Под ред. С. А. Степанова. — 3-е изд. — М.: Наука, 1983. — С. 415. — 480 с.
  13. ↑ Что такое степень числа Архивная копия от 28 июля 2021 на Wayback Machine // Школьная математика, интернет-ресурс.
  14. ↑ Почему число в степени 0 равно 1? Архивная копия от 2 апреля 2015 на Wayback Machine // Науколандия, интернет-ресурс.
  15. ↑ Степенная функция Архивная копия от 2 апреля 2015 на Wayback Machine // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969—1978.
  16. ↑ Брич З. С., Воюш В. И., Дегтярёва Г. С., Ковалевич Э. В. Программирование на языке Ассемблера ЕС ЭВМ. — М.: Статистика, 1976. — 296 с. — С. 13—14, 19.
  17. ↑ Кулаковская В. П., Романовская Л. М., Савченко Т. А., Фельдман Л. С. Кобол ЭВМ Минск-32. Пособие для работников вычислительных центров. — М.: Статистика, 1973. — 284 с.
  18. ↑ Брябрин В. М. Программное обеспечение персональных ЭВМ. 3-е изд. — М.: Наука, 1990. — 272 с. — ISBN 5-02-014824-5. — С. 17, 113—114.
  19. ↑ Смирнов Н. Н. Программные средства персональных ЭВМ. — Л.: Машиностроение, 1990. — 272 с. — ISBN 5-217-00029-5. — С. 13, 80—81.
  20. ↑ Ламберто Гарсия дель Сид. Особые числа других культур → 116 // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 116. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8.
  21. ↑ Lamb, Evelyn (August 31, 2014), Look, Ma, No Zero!, Scientific American, Roots of Unity, <http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2014/08/31/look-ma-no-zero/>  Архивная копия от 17 октября 2014 на Wayback Machine
  22. ↑ Меннингер К. История цифр. Числа, символы, слова. — М.: ЗАО Центрполиграф, 2011. — С. 469—470. — 543 с. — ISBN 9785952449787.
  23. ↑ Лаура Лауренсич-Минелли. Любопытное понятие мезоамериканского и андского «нуля предметного» и логика инкских богов-чисел. Архивировано 23 июля 2012 года.
  24. ↑ Суета вокруг нуля. Дата обращения: 19 сентября 2017. Архивировано 20 сентября 2017 года.
  25. ↑ Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol (англ.). The Guardian (14 сентября 2017). Дата обращения: 19 сентября 2017. Архивировано 20 ноября 2017 года.
  26. ↑ Ламберто Гарсия дель Сид. Особые числа других культур → 116 // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 115. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8.
  27. ↑ «Zentralblatt für Mathematik», апрель, 1957, сообщение чешского историка математики Г. Феттера.
  28. ↑ Депман, 1965, с. 89.
  29. ↑ Депман, 1965, с. 90.
  30. ↑ Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Third Edition) (англ.). — Princeton University Press, 2011. — P. 86. — ISBN 978-0-691-13526-7.

Литература

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Ноль&oldid=5804909