Раскрытие неопределённостей

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

[math]\displaystyle{ \left(\infty-\infty\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\infty}{\infty}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(\frac{0}{0}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(0\cdot\infty\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(0^0\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(\infty^0\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(1^\infty\right) }[/math]

(Здесь [math]\displaystyle{ 0 }[/math] — бесконечно малая величина, [math]\displaystyle{ \infty }[/math] — бесконечно большая величина, 1 — бесконечно близкое к числу 1 выражение)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов [math]\displaystyle{ \left ( ~0^0\right ) }[/math], [math]\displaystyle{ \left (1^\infty \right ) }[/math], [math]\displaystyle{ \left (\infty^0 \right ) }[/math] пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

[math]\displaystyle{ \left (~0^0 \right ) = \left (e^{0\cdot \ln{0}} \right ) = \left (e^{0\cdot(-\infty)} \right ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left (~1^\infty \right ) = \left (e^{\infty\cdot \ln{1}} \right ) = \left (e^{\infty\cdot 0} \right ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left (~\infty^0 \right ) = \left (e^{0\cdot \ln{\infty}} \right ) = \left (e^{0\cdot\infty} \right ) }[/math]

Для раскрытия неопределённостей типа [math]\displaystyle{ \frac{\infty}{\infty} }[/math] используется следующий алгоритм:

1. Выявление старшей степени переменной;
2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа [math]\displaystyle{ \left (\frac{0}{0}\right ) }[/math] существует следующий алгоритм:

1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа [math]\displaystyle{ (\infty-\infty) }[/math] иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть [math]\displaystyle{ f(x) \xrightarrow{x\to a} \infty }[/math] и [math]\displaystyle{ g(x) \xrightarrow{x\to a} \infty }[/math];

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} [f(x)-g(x)]=(\infty-\infty) = \lim_{x \to a} \left ( \frac{1}{\frac{1}{f(x)}}- \frac{1}{\frac{1}{g(x)}}\right )= \lim_{x \to a} \frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{g(x)}\cdot\frac{1}{f(x)}}=\left ( \frac{0}{0} \right ) }[/math].

Данный вид неопределённостей может раскрываться с использованием асимптотических разложений уменьшаемого и вычитаемого, при этом бесконечно большие члены одного порядка должны уничтожаться.

При раскрытии неопределённостей также применяются замечательные пределы и их следствия.

Пример

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} \frac{a^x-x^a}{x-a}, a\gt 0 }[/math] — пример неопределённости вида [math]\displaystyle{ \left (\frac{0}{0}\right ) }[/math]. По правилу Лопиталя [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} \frac{a^x-x^a}{x-a} = \lim_{x \to a} \frac{a^x\ln a-ax^{a-1}}{1} = a^a(\ln a-1) }[/math]. Второй способ — прибавить и отнять в числителе [math]\displaystyle{ a^a }[/math] и дважды применить теорему Лагранжа, к функциям [math]\displaystyle{ a^x }[/math] и [math]\displaystyle{ x^a }[/math] соответственно:

[math]\displaystyle{ \frac{a^x-x^a}{x-a} =\frac{a^x-a^a-(x^a-a^a)}{x-a}=\frac{a^c\ln a(x-a)-ad^{a-1}(x-a)}{x-a}=a^c\ln a-ad^{a-1} }[/math]

здесь c, d лежат между a и x, поэтому они стремятся к a при x стремящемся к a, отсюда получаем тот же предел, что и в первом способе.