Математика в Древнем Египте

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Данная статья — часть обзора История математики.

Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э.

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно[1], что греческие математики учились у египтян[2].

Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как в более древние, так и в более поздние времена. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

Источники

Часть папируса Ахмеса.
Задачи с 49 по 55.

Основные сохранившиеся источники относятся к периоду Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры:

От Нового царства до нас дошли несколько фрагментов вычислительного характера.

Авторы всех этих текстов нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры — это в основном копии, переписанные в период гиксосов. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.

Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным[3].

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.

Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни (целочисленные) и возводить в степень[4], решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

Нумерация (запись чисел)

Иероглифическая запись числа 35736

Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне обычно писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч[5].

Любое число в Древнем Египте можно было записать двумя способами: словами и цифрами. Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные иероглифы:

Aa15
D36
D58

или то же самое написать цифрами (три символа десятки):

V20V20V20
Иероглифы для изображения чисел
1 10 100 1000 10,000 100,000 1,000,000
Z1
V20
V1
M12
D50
I8
C11
Плита с гробницы принцессы Неферетиабет (2590—2565 до н. э., Гиза). Лувр

Умножение египтяне производили с помощью сочетания удвоений и сложений. Деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению.

Особые значки обозначали дроби вида [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{2}{3} }[/math]. Однако общего понятия дроби [math]\displaystyle{ \frac{m}{n} }[/math] у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.

Примеры изображения часто встречающихся дробей
[math]\displaystyle{ 1/2 }[/math] [math]\displaystyle{ 1/3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2/3 }[/math] [math]\displaystyle{ 1/4 }[/math] [math]\displaystyle{ 1/5 }[/math]
Aa13
r
Z2
D22
r
Z1 Z1 Z1 Z1
r
Z1 Z1 Z1 Z1 Z1

Пример записи дробей из Папируса Ринда[6]

Z2
Z1 Z1
Aa16r
Z1 Z1 Z1 Z1
Z2
r
10
Z1Z1Z1Z1

5 + 12 + 17 + 114 (= 5 57)

Арифметика

Знаки сложения и вычитания

В Папирусе Ахмеса (ок. 1550 г. до н.э.) для обозначения сложения или вычитания использовался иероглиф

D54
или
D55

Если направление «ног» у этого иероглифа совпадало с направлением письма (как уже упоминалось, египтяне обычно писали справа налево), тогда он означал «сложение», в противном случае — «вычитание». Однако, в Московском математическом папирусе (ок. 1850 г. до н.э.) пара ног, направленная к концу строки, означала возведение числа в квадрат[7][8].

Сложение

Если при сложении получается число, большее десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом.

Например: 2343 + 1671

M12M12V1 V1
V1
V20 V20
V20 V20
Z1
Z1
Z1

+

M12V1 V1 V1
V1 V1 V1
V20 V20 V20 V20
V20 V20 V20 Z1

Собираем все однотипные иероглифы вместе и получаем:

M12M12M12V1 V1 V1 V1 V1
V1 V1 V1 V1 V20
V20 V20 V20 V20 V20
V20 V20 V20 V20 V20
Z1 Z1
Z1 Z1

Преобразуем:

M12M12M12V1 V1 V1 V1 V1
V1 V1 V1 V1 V1
V20Z1 Z1
Z1 Z1

Окончательный результат выглядит вот так:

M12 M12
M12 M12
V20Z1 Z1
Z1 Z1

Умножение

Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать.

Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное переумножение на второй множитель

Разложение

Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.

Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:

1 x 2 = 2

2 x 2 = 4

4 x 2 = 8

8 x 2 = 16

16 x 2 = 32

Пример разложения числа 25:

  • Кратный множитель для числа «25» — это 16.
  • 25 — 16 = 9,
  • Кратный множитель для числа «9» — это 8,
  • 9 — 8 = 1,
  • Кратный множитель для числа «1» — это 1,
  • 1 — 1 = 0

Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.

Пример: умножим «13» на «238»:

1 х 238 = 238
4 х 238 = 952
8 х 238 = 1904

13 х 238 = 3094

Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

Древние египтяне отличали деление на два от деления на другие числа, поскольку их алгоритм умножения использовал деление на два как один из промежуточных этапов[9].

Уравнения

Иероглифическая запись уравнения [math]\displaystyle{ x\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+1\right)=37 }[/math]

Пример задачи из папируса Ахмеса:

Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания из результата его трети получается 10.

Геометрия

Вычисление площадей

В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как [math]\displaystyle{ S = \frac{{a+c}}{2} \cdot \frac {b+d}{2} }[/math]; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику.

Египтяне предполагали, что площадь круга S диаметром d равна площади квадрата, сторона которого составляет 8/9 диаметра: [math]\displaystyle{ S =\left(d - \frac {d} {9} \right)^2 = \left( \frac {8} {9} d \right)^2. }[/math] Это правило соответствует приближению [math]\displaystyle{ \pi \approx 4\cdot\left( \frac {8} {9} \right)^2 }[/math] ≈ 3,1605 (погрешность менее 1 %)[10]..

Некоторые исследователи[11] на основании 10-й задачи Московского математического папируса считали, что египтяне знали точную формулу для вычисления площади сферы, однако другие учёные с этим не согласны[12][13].

Вычисление объёмов

Реконструкция водяных часов по чертежам из Оксиринха

Египтяне могли высчитывать объёмы параллелепипеда, цилиндра, конуса и пирамид. Для вычисления объёма усечённой пирамиды египтяне пользовались следующим правилом (Задача № M14 Московского математического папируса): пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялся по следующей (правильной) формуле:

[math]\displaystyle{ V = (a^2+ab+b^2)\cdot\frac {h} {3}. }[/math]

Древний свиток папируса, найденный в Оксиринхе, свидетельствует, что египтяне могли вычислять также объём усечённого конуса. Эти знания ими использовались для сооружения водяных часов. Так, например, известно, что при Аменхотепе III были построены водяные часы в Карнаке[источник не указан 3459 дней].

Египетский треугольник

Египетским треугольником называется прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Плутарх в первом веке об этом треугольнике в сочинении «Об Исиде и Осирисе» писал: «видимо, египтяне сравнивают природу Всеобщности с красивейшим из треугольников». Возможно, именно из-за этого этот треугольник получил название египетского[14]. Действительно, греческие учёные сообщали, что в Египте для построения прямого угла использовалась верёвка, разделённая на 12 частей.

Египетский треугольник активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами, например, при построении пирамид. Историк Ван дер Варден попытался поставить этот факт под сомнение, однако более поздние исследования его подтвердили[15]. В любом случае, нет никаких свидетельств, что в Древнем Египте была известна теорема Пифагора в общем случае (в отличие от Древнего Вавилона)[16].

См. также

Примечания

  1. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Указ. соч., стр. 125: «Фалес путешествовал в Египет и привёз геометрию в Элладу» (из комментария Прокла к Евклиду).
  2. «Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, и возникла при измерении площадей» // Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum. — Leipzig, 1873. — С. 64.
  3. История математики, том I, 1970, с. 21—33..
  4. История математики, том I, 1970, с. 24..
  5. История математики, том I, 1970, с. 30.
  6. Gardiner Alan H. Egyptian grammar: being an introduction to the study of hieroglyphs 3rd ed., rev. London: 1957, p. 197.
  7. Florian Cajori. A History of Mathematical Notations. — Dover Publications, 1993. — С. pp. 229—230. — ISBN 0486677664.
  8. Karpinski, Louis C. Algebraical Developments Among the Egyptians and Babylonians (англ.) // The American Mathematical Monthly : journal. — 1917. — Vol. 24, no. 6. — P. 259. — doi:10.2307/2973180. — JSTOR 2973180.
  9. Jean-Luc Chabert. A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. — Springer Berlin Heidelberg, 1999. — 524 с. — ISBN 9783540633693. Архивная копия от 21 февраля 2019 на Wayback Machine
  10. История математики, том I, 1970, с. 30—32..
  11. W. W. Struve. Mathematischer Papyrus des Museum in Moskau. — Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung A. — Berlin: Springer, 1930. — С. 157.
  12. История математики, том I, 1970, с. 31—32..
  13. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции, стр. 44-45
  14. Прасолов В. В. Глава 1. Древний Египет и Вавилон // История математики. — (не публиковалась), 2013. — С. 5. Архивная копия от 18 апреля 2015 на Wayback Machine
  15. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматлит, 1959, С. 13, подстрочное примечание
  16. История математики, том I, 1970, с. 31..

Литература

Ссылки