Обратное число

Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) к данному числу x — это число, умножение которого на x даёт единицу. Принятая запись: [math]\displaystyle{ \frac{1}x }[/math] или [math]\displaystyle{ x^{-1} }[/math]. Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными. Обратное число не следует путать с обратной функцией. Например, [math]\displaystyle{ \frac{1}{\cos{x}} }[/math] отличается от значения функции, обратной косинусу — арккосинуса, который обозначается [math]\displaystyle{ \cos^{-1}x }[/math] или [math]\displaystyle{ \arccos x }[/math].

Обратное к действительному числу

Для любого действительного (или комплексного) числа, отличного от нуля, существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде дроби или степени с показателем -1. Но, как правило, используется запись через дробь.

Число	Обратное
	Дробь	Степень
[math]\displaystyle{ n }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math]	[math]\displaystyle{ n^{-1} }[/math]

То есть [math]\displaystyle{ \ \frac{1}{n} = n^{-1} }[/math].

Примеры
Число	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{10} }[/math]	[math]\displaystyle{ -\frac{2}{7} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ -0,125 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt{3} }[/math]	[math]\displaystyle{ e^{\frac{\pi}{4}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 10^{23} }[/math]
Обратное	[math]\displaystyle{ \frac{1}{3} }[/math]	[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ -\frac{7}{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ -8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{3} }[/math]	[math]\displaystyle{ e^{-\frac{\pi}{4}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 10^{-23} }[/math]

Не стоит путать термины «обратное число» и «противоположное число». Два числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Например, число, противоположное к 3, это −3, а обратное 1/3.

Обратное к нулю

В арифметике, которая оперирует действительными (или комплексными) числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что на ноль делить нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода предельного перехода (в математическом анализе), появились такие понятия как бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые являются взаимно обратными.

Используя предельный переход, получаем:

• Правый предел: [math]\displaystyle{ \lim_{x \to +0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=+\infty }[/math] _ или _ [math]\displaystyle{ \left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} +0]{}\ {+\infty} }[/math]
• Левый предел: [math]\displaystyle{ \lim_{x \to -0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=-\infty }[/math] _ или _ [math]\displaystyle{ \left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} -0]{}\ {-\infty} }[/math]

Таким образом, обратной величиной для нуля, в зависимости от того с какой стороны к нему стремиться, формально является бесконечность со знаком «+» или «−». Однако такое определение обратного к нулю бессмысленно — при введении теряется дистрибутивность, что проявляется, в частности, когда предел обратного квадрата также «равен» бесконечности, но при делении предыдущего предела на этот даёт ответ 0, а не 1.

• [math]\displaystyle{ \lim_{x \to +0} \frac{1}{x^2}={+\infty} }[/math]

Но [math]\displaystyle{ \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to +0} \frac{x^2}{x}=0 }[/math]

Обратное к комплексному числу

Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Формы комплексного числа	Число [math]\displaystyle{ (z) }[/math]	Обратное [math]\displaystyle{ \left ( \frac{1}{z} \right) }[/math]
Алгебраическая	[math]\displaystyle{ x+iy }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{x}{x^2+y^2}-i \frac{y}{x^2+y^2} }[/math]
Тригонометрическая	[math]\displaystyle{ r(\cos\varphi+i \sin\varphi) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{r}(\cos\varphi-i \sin\varphi) }[/math]
Показательная	[math]\displaystyle{ re^{i \varphi} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{r}e^{-i \varphi} }[/math]

Обозначение и доказательство                                         Обозначение                     [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C} }[/math] (комплексное число), [math]\displaystyle{ x = \operatorname{Re}(z) \in \mathbb{R} }[/math] (действительная часть комплексного числа), [math]\displaystyle{ y = \operatorname{Im}(z) \in \mathbb{R} }[/math] (мнимая часть комплексного числа), [math]\displaystyle{ i }[/math] — мнимая единица, [math]\displaystyle{ r=|z|=\sqrt{x^2+y^2} }[/math] (модуль комплексного числа), [math]\displaystyle{ \varphi=\operatorname{arg}z= \operatorname{arctg}\frac{y}{x} }[/math] (аргумент комплексного числа), [math]\displaystyle{ e }[/math] — основание натурального логарифма. Доказательство: Для алгебраической и тригонометрической форм используем основное свойство дроби, умножая числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное: Алгебраическая форма: [math]\displaystyle{ \frac{1}{z}= \frac{1}{x+iy}= \frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}= \frac{x}{x^2+y^2}-i \frac{y}{x^2+y^2} }[/math] Тригонометрическая форма: [math]\displaystyle{ \frac{1}{z} = \frac{1}{r(\cos\varphi+i \sin\varphi)} = \frac{1}{r} \frac{\cos\varphi-i \sin\varphi}{(\cos\varphi+i \sin\varphi)(\cos\varphi-i \sin\varphi)} = \frac{1}{r} \frac{\cos\varphi-i \sin\varphi}{\cos^2\varphi+ \sin^2\varphi} = \frac{1}{r}(\cos\varphi-i \sin\varphi) }[/math] Показательная форма: [math]\displaystyle{ \frac{1}{z} = \frac{1}{re^{i \varphi}} = \frac{1}{r}e^{-i \varphi} }[/math]

Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.

Пример:

Формы комплексного числа	Число [math]\displaystyle{ (z) }[/math]	Обратное [math]\displaystyle{ \left ( \frac{1}{z} \right ) }[/math]
Алгебраическая	[math]\displaystyle{ 1+i \sqrt{3} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{4}- \frac{\sqrt{3}}{4}i }[/math]
Тригонометрическая	[math]\displaystyle{ 2 \left ( \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} \right ) }[/math] или [math]\displaystyle{ 2 \left ( \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right ) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} \left ( \cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3} \right ) }[/math] или [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right ) }[/math]
Показательная	[math]\displaystyle{ 2 e^{i \frac{\pi}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} e^{-i \frac{\pi}{3}} }[/math]

Обратное к мнимой единице

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), обратное и противоположное числа к которым равны. Это [math]\displaystyle{ \pm i }[/math].

Число	Равенство обратного и противоположного
	Запись обратного через дробь	Запись обратного через степень
[math]\displaystyle{ i }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{i}=-i }[/math]	[math]\displaystyle{ i^{-1}=-i }[/math]
[math]\displaystyle{ -i }[/math]	[math]\displaystyle{ - \frac{1}{i}=i }[/math]	[math]\displaystyle{ -i^{-1}=i }[/math]

Доказательство                     Продемонстрируем доказательство для [math]\displaystyle{ i }[/math] (для [math]\displaystyle{ -i }[/math] аналогично). Используем основное свойство дроби: [math]\displaystyle{ \frac{1}{i}=\frac{1 \cdot i}{i \cdot i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i }[/math] Таким образом, получаем [math]\displaystyle{ \frac{1}{i}=-i }[/math]__или__[math]\displaystyle{ i^{-1}=-i }[/math] Аналогично для [math]\displaystyle{ -i }[/math]: __ [math]\displaystyle{ - \frac{1}{i}=i }[/math] __ или __ [math]\displaystyle{ -i^{-1}=i }[/math]

См. также

• Обратный элемент
• Обратная матрица
• Деление
• Дробь
• Противоположное число