163 (число)

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Эта статья — о числе 163. Другие значения см. на странице 163 (значения).
163
сто шестьдесят три
← 161 · 162 · 163 · 164 · 165 →
Разложение на множители 163 (простое)
Римская запись CLXIII
Двоичное 10100011
Восьмеричное 243
Шестнадцатеричное A3

163 (сто шестьдесят три) — натуральное число, расположенное между числами 162 и 164.

Математика

163 — тридцать восьмое простое число.

Число Хегнера

Число 163 — наибольшее из чисел Хегнера[англ.]*[1][2][3]. Это наибольшее значение d, при котором число классов мнимого квадратичного поля [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{-d}) }[/math] равно 1. Эквивалентно, кольцо целых этого поля является факториальным кольцом[4][5].

Кольца целых чисел в поле [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{d}) }[/math] называются квадратичными кольцами[5]. Существует шестнадцать евклидовых вещественных квадратичных колец для d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73[6][7]; существует только пять евклидовых мнимых квадратичных колец, для d = −1, −2, −3, −7, −11[5][7][8]. При d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 кольца целых в [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{d}) }[/math] являются факториальными (гипотеза Гаусса[англ.])[5][1][9][10].

Дискриминант многочлена

[math]\displaystyle{ x^2-x+41, }[/math]

значения которого при [math]\displaystyle{ 0\le x\le 40 }[/math] являются простыми числами, равен −163[4]. Значение константы Рамануджана[11][12]

[math]\displaystyle{ e^{\pi\sqrt{163}} \approx 262537412640768743{,}9999999999992500725971981856888\ldots }[/math]

отличается от ближайшего целого числа приблизительно на 7,5 × 10−13[4].

Более того, равенство

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty 2^{-n}[ne^{\pi\sqrt{163}/3}] \approx 1280640 }[/math]

выполняется с точностью более полумиллиарда десятичных знаков после запятой[13].

Все эти факты связаны с тем, что классовое число квадратичного поля [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{-163}) }[/math] равно 1, а поскольку 163 — наибольшее из чисел [math]\displaystyle{ d }[/math], обладающих таким свойством, то и отличие [math]\displaystyle{ e^{\pi\sqrt{d}} }[/math] от ближайшего целого минимально при выборе именно [math]\displaystyle{ d=163 }[/math][4][3][14].

Непрерывные дроби

В конце 1964 года Дж. Бриллхарт и Моррисон осуществили численный эксперимент по разложению в непрерывные дроби кубических иррациональностей, в ходе которого было установлено, что разложение в непрерывную дробь действительного корня уравнения

[math]\displaystyle{ x^3 - 8x - 10 = 0 }[/math]

содержит не менее 8 неполных частных, превосходящих 10 000: 22 986, 35 657, 48 120, 49 405, 53 460, 325 927, 1 501 790, 16 467 250. Как выяснилось позже, возникновение столь больших неполных частных связано с тем, что дискриминант уравнения равен [math]\displaystyle{ 4\cdot (-163), }[/math] а число классов поля [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{-163}) }[/math] равно единице[15].

Другие свойства

163 из 39 = 19 683 матриц 3 × 3 с коэффициентами из [−1; 1] порождают (с использованием обычного матричного умножения) группу порядка 2[16]. Если брать коэффициенты из [−n; n], то при n = 1, 2, 3, 4, 5, … число матриц, порождающих группу порядка 2, равно 163, 643, 1651, 3379, 5203, ….

В других областях

См. также

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 Последовательность A003173 в OEIS = Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization (or class number 1) // Фрагмент: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163
  2. ↑ Erich Friedman. What's Special About This Number? (недоступная ссылка). Архивировано 14 ноября 2015 года.
  3. ↑ 3,0 3,1 Weisstein, Eric W. Heegner Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 Cam McLeman. The Ten Coolest Numbers (недоступная ссылка). Дата обращения: 15 октября 2010. Архивировано 24 февраля 2012 года.
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 Аскар Туганбаев, Пётр Крылов, Андрей Чехлов. Задачи и упражнения по основам общей алгебры: учебное пособие. — Litres, 2015. — С. 85. — ISBN 9785457475250. Архивная копия от 5 марта 2016 на Wayback Machine
  6. ↑ Последовательность A003174 в OEIS = Positive integers D such that Q[sqrt(D)] is a quadratic field which is norm-Euclidean // Фрагмент: 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73
  7. ↑ 7,0 7,1 Последовательность A048981 в OEIS = Squarefree values of n for which the quadratic field Q[ sqrt(n) ] is norm-Euclidean // Фрагмент: -11, -7, -3, -2, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73
  8. ↑ Последовательность A263465 в OEIS = Values of D for which the imaginary quadratic field Q[ sqrt(-D) ] is norm-Euclidean // Фрагмент: 1, 2, 3, 7, 11
  9. ↑ Ireland, Rosen, 1990, p. 14.
  10. ↑ Разложимые формы, решётки, единицы, и число классов идеалов. Дата обращения: 22 ноября 2015. Архивировано 22 ноября 2015 года.
  11. ↑ Weisstein, Eric W. Ramanujan Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  12. ↑ Последовательность A060295 в OEIS = Decimal expansion of e^(Pi*sqrt(163))
  13. ↑ J. M. Borwein, D. H. Bailey and R. Girgensohn. Experimentation in Mathematics. — Natick, MA : A K Peters, 2004. — С. 14. — ISBN 978-1568811369.
  14. ↑ Weisstein, Eric W. j-Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  15. ↑ Вычисления в алгебре и теории чисел, 1976, Х. М. Старк. Объяснение некоторых экзотических непрерывных дробей, найденных Бриллхартом, с. 155-156.
  16. ↑ Последовательность A054466 в OEIS = Number of 3 X 3 integer matrices with elements in the range [ -n,n ] which generate a group of order two under binary matrix multiplication

Литература

  • Kenneth Ireland, Michael Rosen. A classical introduction to modern number theory. — 2nd ed. — 1990.
  • Вычисления в алгебре и теории чисел / Пер. с англ. Э. Г. Белаги, под ред. Б. Б. Венкова и Д. К. Фаддеева. — М.: Мир, 1976. — (Математика. Новое в зарубежной науке).
  • Henri Cohen. A Course in Computational Algebraic Number Theory. — Springer Science & Business Media, 2013. — P. 229. — 536 p. — ISBN 3662029456.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=163_(число)&oldid=5866391