Нейтральный элемент
 | В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |
Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ (M,\cdot) }[/math] — множество [math]\displaystyle{ M }[/math] с определённой на нём бинарной операцией «[math]\displaystyle{ \cdot }[/math]». Элемент [math]\displaystyle{ e \in M }[/math] называется нейтральным относительно [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] (умножения), если
- [math]\displaystyle{ x \cdot e = e \cdot x = x, \quad \forall x \in M }[/math].
В случаях некоммутативных операций, вводят левый нейтральный элемент [math]\displaystyle{ e_{\mathrm{l}} }[/math], для которого
- [math]\displaystyle{ e_{\mathrm{l}} \cdot x = x, \quad \forall x \in M }[/math],
и правый нейтральный элемент [math]\displaystyle{ e_{\mathrm{r}} }[/math], для которого
- [math]\displaystyle{ x \cdot e_{\mathrm{r}} = x, \quad \forall x \in M }[/math].
В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент [math]\displaystyle{ e_{\mathrm l} }[/math], и нейтральный справа элемент [math]\displaystyle{ e_{\mathrm r} }[/math], то они обязаны совпадать (так как [math]\displaystyle{ e_{\mathrm r} = e_{\mathrm l} \cdot e_{\mathrm r} = e_{\mathrm l} }[/math]).
Примеры
| Множество | Бинарная операция | Нейтральный элемент |
|---|---|---|
| Вещественные числа | [math]\displaystyle{ + }[/math] (сложение) | число 0 |
| Вещественные числа | [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] (умножение) | число 1 |
| Вещественные числа | [math]\displaystyle{ - }[/math] (вычитание) | число 0 (нейтральный справа) |
| Вещественные числа | [math]\displaystyle{ a^b }[/math] (возведение в степень) | число 1 (нейтральный справа) |
| Расширенная числовая прямая | [math]\displaystyle{ \div }[/math] (деление) | число 1 (нейтральный справа) |
| Векторное пространство | [math]\displaystyle{ + }[/math] (сложение векторов) | [math]\displaystyle{ \vec 0 }[/math] (нуль-вектор) |
| Матрицы размера [math]\displaystyle{ m \times n }[/math] | [math]\displaystyle{ + }[/math] (матричное сложение) | нулевая матрица |
| Матрицы размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math] | [math]\displaystyle{ \times }[/math] (матричное произведение) | единичная матрица |
| Функции вида [math]\displaystyle{ f:M\to M }[/math] | [math]\displaystyle{ \circ }[/math] (композиция функций) | тождественное отображение |
| Символьные строки | конкатенация | пустая строка |
| Расширенная числовая прямая | [math]\displaystyle{ \min }[/math] (минимум) или [math]\displaystyle{ \inf }[/math] (инфимум) | [math]\displaystyle{ +\infty }[/math] |
| Расширенная числовая прямая | [math]\displaystyle{ \max }[/math] (максимум) или [math]\displaystyle{ \sup }[/math] (супремум) | [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] |
| Подмножества множества [math]\displaystyle{ M }[/math] | [math]\displaystyle{ \cap }[/math] (пересечение множеств) | [math]\displaystyle{ M }[/math] |
| Множества | [math]\displaystyle{ \cup }[/math] (объединение множеств) | [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] (пустое множество) |
| Исчисление высказываний | [math]\displaystyle{ \wedge }[/math] (конъюнкция) | [math]\displaystyle{ \top }[/math] (истина) |
| Исчисление высказываний | [math]\displaystyle{ \lor }[/math] (дизъюнкция) | [math]\displaystyle{ \bot }[/math] (ложь) |
Терминология
В алгебре
В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.
Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением, то нейтральный элемент называют нулём, опять-таки по аналогии с одноимённым числом. Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но, обычно, и групповую операцию в абелевых группах в аддитивной нотации.
В теории решёток
В теории решёток нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».
См. также
Ссылки
- Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с. стр 77 "Нейтральные элементы"
- http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:element:groupoid:identity (рус.)
- http://mathforum.org/library/drmath/view/56032.html (рус.)
- https://brilliant.org/wiki/identity-element/ (англ.)
- Weisstein, Eric W. "Identity Element." From MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.)