Род поверхности

Род поверхности — топологическая характеристика замкнутой поверхности [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math]. Определяется как максимальное число замкнутых непересекающихся кривых не разделяющих поверхность на части.

Примеры

Сфера имеет род 0.
Тор имеет род 1.
Проективная плоскость [math]\displaystyle{ \mathbb{R}\mathrm{P}^2 }[/math] имеет род 1.

Свойства

Ориентируемые поверхности

Для ориентируемых поверхностей род равен числу ручек.

Эквивалентно, [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] имеет род [math]\displaystyle{ g }[/math], если [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] гомеоморфна связной сумме сферы ([math]\displaystyle{ S^2 }[/math]) и [math]\displaystyle{ g }[/math] торов [math]\displaystyle{ T^2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Sigma \sim S^2 \# (\underbrace{T^2 \# \ldots \# T^2}_{g}) }[/math].

Род [math]\displaystyle{ g }[/math] ориентированной поверхности [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] может быть вычислен через её эйлерову характеристику [math]\displaystyle{ \chi(\Sigma) }[/math]:
[math]\displaystyle{ g=\frac{2-\chi(\Sigma)}{2} }[/math].
Род поверхности [math]\displaystyle{ \Sigma\subset \Complex P^2 }[/math], являющейся замыканием множества нулей [math]\displaystyle{ \{P(x,\;y)=0\} }[/math] многочлена [math]\displaystyle{ P(x,\;y) }[/math] степени [math]\displaystyle{ d }[/math] общего положения, выражается через его степень как:
[math]\displaystyle{ g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}. }[/math]
Род гиперэллиптической поверхности [math]\displaystyle{ \Sigma\subset \Complex P^2 }[/math], являющейся замыканием множества:
[math]\displaystyle{ \{(x,\;y) \mid y^2=P(x)\} }[/math].

Для свободного от квадратов многочлена [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] степени [math]\displaystyle{ d }[/math], выражается через его степень как:

[math]\displaystyle{ g=\left\lceil\frac{d-1}{2} \right\rceil }[/math].

Неориентируемые поверхности

Для неориентируемых поверхностей род равен числу вклеенных в неё лент Мёбиуса

Эквивалентно, [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] имеет род [math]\displaystyle{ g }[/math], если [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] гомеоморфна связной сумме сферы ([math]\displaystyle{ S^2 }[/math]) и [math]\displaystyle{ g }[/math] проективных плоскостей [math]\displaystyle{ \mathbb{R}\mathrm{P}^2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Sigma \sim S^2 \# (\underbrace{\mathbb{R}\mathrm{P}^2 \# \dots \# \mathbb{R}\mathrm{P}^2}_{g}) }[/math].

Род [math]\displaystyle{ g }[/math] неориентируемой поверхности [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] может быть вычислен через её эйлерову характеристику [math]\displaystyle{ \chi(\Sigma) }[/math]:
[math]\displaystyle{ g=2-\chi(\Sigma) }[/math].

См. также

Род многообразия