Комплексная проективная плоскость

Комплексная проективная плоскость — двумерное комплексное проективное пространство^[en]; является двумерным комплексным многообразием, его вещественная размерность равна 4.

Обычно обозначается [math]\displaystyle{ \mathbb C\mathrm P^2 }[/math].

Построение

Точки на комплексной проективной плоскости и описывается однородными комплексными координатами

[math]\displaystyle{ (z_1,z_2,z_3) \in \mathbb C^3,\qquad (z_1,z_2,z_3)\neq (0,0,0). }[/math]

При этом тройки, отличающиеся на скаляр, считаются идентичными:

[math]\displaystyle{ (z_1,z_2,z_3) \equiv (\lambda z_1,\lambda z_2, \lambda z_3);\quad \lambda\in \mathbb{C},\qquad \lambda \neq 0. }[/math]

Топология

[math]\displaystyle{ \mathbb C\mathrm P^2 }[/math] гомеоморфно фактору 5-мерной сферы [math]\displaystyle{ \mathbb S^5\subset \mathbb C^3 }[/math] по действию Хопфа [math]\displaystyle{ \mathbb S^1 }[/math].

Числа Бетти:
1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

[math]\displaystyle{ \mathbb C\mathrm P^2 }[/math] односвязно, его фундаментальная группа тривиальна.
Нетривиальными гомотопическими группами комплексной проективной плоскости являются
[math]\displaystyle{ \pi_2\mathbb C\mathrm P^2=\pi_5\mathbb C\mathrm P^2=\mathbb{Z} }[/math].

в старших размерностях, гомотопические группы те же, что у 5-мерной сферы.

Алгебраическая геометрия

В бирациональной геометрии комплексная рациональная поверхность — это любая алгебраическая поверхность, бирационально эквивалентная комплексной проективной плоскости. Известно, что любое несингулярное рациональное многообразие получается из плоскости в результате последовательности преобразований раздутия и обратных им («стягиваний») кривых, которые должны быть очень специфичного вида. В качестве частного случая несингулярные комплексные поверхности второго порядка в P³ получаются из плоскости путём раздутия двух точек до кривых, а затем стягивание прямой через эти две точки. Обратные им преобразования можно видеть, если взять точку P на поверхности Q второго порядка, раздуть её, и спроектировать на обычную плоскость в P³ путём проведения прямых через P.

Группой бирациональных автоморфизмов комплексной проективной плоскости является группа Кремоны.

Дифференциальная геометрия

Комплексная проективная плоскость есть 4-мерное многообразиее. Оно обладает естественной метрикой, так называемой метрикой метрикой Фубини — Штуди с 1/4-защеплённой секционной кривизной; то есть её максимальная секционная кривизна равна 4 а минимальная равна 1. Эта метрика инициируется на факторе [math]\displaystyle{ \mathbb C\mathrm P^2=\mathbb S^5/\mathbb S^1 }[/math] по действию Хопфа [math]\displaystyle{ \mathbb S^1 }[/math] на [math]\displaystyle{ \mathbb S^5 }[/math].

См. также

Примечания

Литература

П.С. Александров. Курс аналитической геометрии из линейной алгебры. — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1979. — С. 598.
C. E. Springer. Geometry and Analysis of Projective Spaces. — W. H. Freeman and Company, 1964. — С. 140–3.
М. Громов. Знак и геометрический смысл кривизны. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 1999. — ISBN 5-93972-020-X.
Weisstein, Eric W. Complex Projective Plane (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.