Асимптота

Асимпто́та, или аси́мптота[1] (от др.-греч. ἀσύμπτωτος — несовпадающая, не касающаяся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность[2]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед[3].

Виды асимптот графиков
Вертикальная
Прямая вида [math]\displaystyle{ x = a }[/math] является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a^-}f(x)= \pm\infty }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a^+}f(x)=\pm\infty }[/math].
Вертикальных асимптот может быть любое количество.
Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке [math]\displaystyle{ a }[/math]. Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.
Горизонтальная и наклонная
Наклонная асимптота — прямая вида [math]\displaystyle{ y=kx+b }[/math], если выполняется хотя бы одно из равенств:
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}(f(x)-kx)=b }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}(f(x)-kx)=b }[/math].
При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при [math]\displaystyle{ x \to + \infty }[/math], а если второе, то асимптотой при [math]\displaystyle{ x \to - \infty }[/math][4].
Если [math]\displaystyle{ k=0 }[/math], то асимптота также называется горизонтальной.
Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при [math]\displaystyle{ x \to + \infty }[/math] и одна при [math]\displaystyle{ x \to - \infty }[/math], но она может быть одна или их вовсе может не быть.
Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в окрестности бесконечности[5].
Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности[5].

Нахождение асимптот
Порядок нахождения асимптот
- Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть бесконечность).
- Проверка, не являются ли конечными пределы [math]\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}f(x)=b }[/math] и[math]\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}f(x)=b }[/math]. Если да, то существует горизонтальная асимптота [math]\displaystyle{ y=b }[/math] при [math]\displaystyle{ +\infin }[/math] и [math]\displaystyle{ -\infin }[/math] соответственно.
- Нахождение двух пределов [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k }[/math]
- Нахождение двух пределов [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b }[/math], если хотя бы один из пределов в пункте 3 или 4 не существует (или равен [math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math]), то наклонной асимптоты при [math]\displaystyle{ x \to + \infty }[/math] (или [math]\displaystyle{ x \to - \infty }[/math]) не существует.
Наклонная асимптота — выделение целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:
Дана функция [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{2x^3+5x^2+1}{x^2+1} }[/math].
Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: [math]\displaystyle{ f(x)=2x+5+ \frac{-2x-4}{x^2+1}=2x+5+(-2) \cdot \frac{x+2}{x^2+1} }[/math].
При [math]\displaystyle{ x \to \pm\infty }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{x+2}{x^2+1} \to 0 }[/math],
и [math]\displaystyle{ y=2x+5 }[/math] является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.
Свойства
- Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости[6]. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.
См. также
Примечания
- ↑ Двойное ударение указано в Советском энциклопедическом словаре. В словарях XIX и первой половины XX века (например, в кн.: Словарь иностранных слов / Под ред. И. В. Лёхина и проф. Ф. Н. Петрова. — М.: Гос. изд-во иностр. и нац. словарей, 1955. — С. 77. — 856 с.) указывался единственный вариант ударения «асимпто́та».
- ↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1. Архивная копия от 13 ноября 2013 на Wayback Machine
- ↑ Математический энциклопедический словарь Архивная копия от 1 августа 2013 на Wayback Machine — М.: Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
- ↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — С. 374-375. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
- ↑ Перейти обратно: 5,0 5,1 «Asymptotes» by Louis A. Talman
- ↑ Taylor C. Geometrical Conics; Including Anharmonic Ratio and Projection, With Numerous Examples. — Cambridge: Macmillan, 1863. — С. 170.
Литература
- Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
- Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.
Ссылки
- Асимптота // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Асимптота / Э. Г. Позняк // Ангола — Барзас. — М. : Советская энциклопедия, 1970. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 2).