Перейти к содержанию

Асимптота

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Для гиперболы [math]\displaystyle{ y = \frac{1} {x} }[/math] асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от неё

Асимпто́та, или аси́мптота[1] (от др.-греч. ἀσύμπτωτος — несовпадающая, не касающаяся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность[2]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед[3].

Затухающие колебания. [math]\displaystyle{ y = e^{-0.1x}\sin (x) }[/math]. Кривая может бесконечное множество раз пересекать асимптоту
Пример асимптоты для кривой в пространстве. Спираль бесконечно приближается к прямой

Виды асимптот графиков

Вертикальная

Прямая вида [math]\displaystyle{ x = a }[/math] является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:

  1. [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a^-}f(x)= \pm\infty }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a^+}f(x)=\pm\infty }[/math].

Вертикальных асимптот может быть любое количество.

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке [math]\displaystyle{ a }[/math]. Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Горизонтальная и наклонная

На графике функции x+1/x, ось y (x = 0) и линия y=x являются асимптотами.

Наклонная асимптота — прямая вида [math]\displaystyle{ y=kx+b }[/math], если выполняется хотя бы одно из равенств:

  1. [math]\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}(f(x)-kx)=b }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}(f(x)-kx)=b }[/math].

При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при [math]\displaystyle{ x \to + \infty }[/math], а если второе, то асимптотой при [math]\displaystyle{ x \to - \infty }[/math][4].

Если [math]\displaystyle{ k=0 }[/math], то асимптота также называется горизонтальной.

Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при [math]\displaystyle{ x \to + \infty }[/math] и одна при [math]\displaystyle{ x \to - \infty }[/math], но она может быть одна или их вовсе может не быть.

Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в окрестности бесконечности[5].

Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности[5].

Функция y=arctgx с двумя горизонтальными асимптотами

Нахождение асимптот

Порядок нахождения асимптот

  1. Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть бесконечность).
  2. Проверка, не являются ли конечными пределы [math]\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}f(x)=b }[/math] и[math]\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}f(x)=b }[/math]. Если да, то существует горизонтальная асимптота [math]\displaystyle{ y=b }[/math] при [math]\displaystyle{ +\infin }[/math] и [math]\displaystyle{ -\infin }[/math] соответственно.
  3. Нахождение двух пределов [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k }[/math]
  4. Нахождение двух пределов [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b }[/math], если хотя бы один из пределов в пункте 3 или 4 не существует (или равен [math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math]), то наклонной асимптоты при [math]\displaystyle{ x \to + \infty }[/math] (или [math]\displaystyle{ x \to - \infty }[/math]) не существует.

Наклонная асимптота — выделение целой части

Нахождение наклонной асимптоты графика функции путём выделения целой части
Нахождение наклонной асимптоты графика функции путём выделения целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{2x^3+5x^2+1}{x^2+1} }[/math].

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: [math]\displaystyle{ f(x)=2x+5+ \frac{-2x-4}{x^2+1}=2x+5+(-2) \cdot \frac{x+2}{x^2+1} }[/math].

При [math]\displaystyle{ x \to \pm\infty }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{x+2}{x^2+1} \to 0 }[/math],

и [math]\displaystyle{ y=2x+5 }[/math] является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.

Свойства

  • Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости[6]. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.

См. также

Примечания

  1. Двойное ударение указано в Советском энциклопедическом словаре. В словарях XIX и первой половины XX века (например, в кн.: Словарь иностранных слов / Под ред. И. В. Лёхина и проф. Ф. Н. Петрова. — М.: Гос. изд-во иностр. и нац. словарей, 1955. — С. 77. — 856 с.) указывался единственный вариант ударения «асимпто́та».
  2. Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1. Архивная копия от 13 ноября 2013 на Wayback Machine
  3. Математический энциклопедический словарь Архивная копия от 1 августа 2013 на Wayback Machine — М.: Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
  4. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — С. 374-375. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
  5. Перейти обратно: 5,0 5,1 «Asymptotes» by Louis A. Talman
  6. Taylor C. Geometrical Conics; Including Anharmonic Ratio and Projection, With Numerous Examples. — Cambridge: Macmillan, 1863. — С. 170.

Литература

  • Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
  • Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.

Ссылки