Единичная окружность

Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Это понятие широко используется для определения и исследования тригонометрических функций.

Свойства и связанные понятия

Внутренность единичной окружности называется единичным кругом.

Для координат всех точек на единичной окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = 1 }[/math]. Это равенство можно рассматривать как уравнение единичной окружности.

Тригонометрические функции

Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку [math]\displaystyle{ (x, y) }[/math] на единичной окружности с началом координат [math]\displaystyle{ (0, 0) }[/math], получается отрезок, находящийся под углом [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда получим:

[math]\displaystyle{ \cos\alpha = x }[/math],

[math]\displaystyle{ \sin\alpha = y }[/math].

При подстановке этих значений в уравнение окружности [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = 1 }[/math] получается:

[math]\displaystyle{ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 }[/math].

(Используется следующая общепринятая нотация: [math]\displaystyle{ \cos^2x = (\cos x)^2 }[/math].)

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

[math]\displaystyle{ \sin(x + 2\pi k) = \sin(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos(x + 2\pi k) = \cos(x) }[/math]

для всех целых чисел [math]\displaystyle{ k }[/math], то есть для [math]\displaystyle{ k\in \mathbb Z }[/math].

Комплексная плоскость

См. также: U(1) и Корни из единицы

В комплексной плоскости единичная окружность — это множество комплексных чисел, модуль которых равен 1:

[math]\displaystyle{ G = \{z : |z| = 1 \} = \{z : z = e^{i\phi}, 0 \leqslant \phi \lt 2\pi\} }[/math]

Любое ненулевое комплексное число [math]\displaystyle{ z }[/math] может быть однозначно записано в виде [math]\displaystyle{ z = |z|u, }[/math] где число [math]\displaystyle{ u }[/math] имеет модуль 1 и поэтому принадлежит единичной окружности,

Множество [math]\displaystyle{ G }[/math] является подгруппой группы комплексных чисел по умножению. В свою очередь, [math]\displaystyle{ G }[/math] содержит важные в алгебре конечные группы корней [math]\displaystyle{ n }[/math]-й степени из единицы, образующие вдоль единичной окружности вершины правильного [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольника.

Радиан как длина дуги единичной окружности

Радианная мера

Радианную меру угла можно определить как длину той дуги, которую высекает из единичной окружности данный угол (центр окружности совпадает с вершиной угла).

Вариации и обобщения

Понятие единичной окружности обобщается до [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного пространства ([math]\displaystyle{ n\gt 2 }[/math]), в таком случае говорят о «единичной сфере».

Литература

• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Unit Circle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.