Группа (математика)

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
У этого термина существуют и другие значения, см. Группа.

Гру́ппа в математике — непустое множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп[1].

Один из примеров группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, роль нейтрального элемента играет ноль, а число с противоположным знаком является обратным элементом. Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Благодаря абстрактному определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике образующих множеств, в теории групп создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры. Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.

Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований, оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как точечные группы симметрии, помогают понять явление молекулярной симметрии в химии; группа Пуанкаре характеризует симметрию физического пространства-времени, а специальные унитарные группы применяются в стандартной модели физики элементарных частиц[2].

Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы[3].

Современная теория групп является активным разделом математики[4]. Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в классификации простых конечных групп, которая была завершена в 1981 году: доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве[5]. С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп, изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты.

Определение

Непустое множество [math]\displaystyle{ G }[/math] с заданной на нём бинарной операцией [math]\displaystyle{ {*} }[/math]: [math]\displaystyle{ \mathrm{G} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G} }[/math] называется группой [math]\displaystyle{ (\mathrm{G}, *) }[/math], если выполнены следующие аксиомы:

  1. ассоциативность: [math]\displaystyle{ \forall (a, b, c\in G)\colon (a*b)*c = a*(b*c) }[/math];
  2. наличие нейтрального элемента: [math]\displaystyle{ \exists e \in G \quad \forall a \in G\colon (e*a=a*e=a) }[/math];
  3. наличие обратного элемента: [math]\displaystyle{ \forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e) }[/math].

Последние две аксиомы можно заменить одной аксиомой существования операции обратной [math]\displaystyle{ * }[/math]:

[math]\displaystyle{ \forall (a,b\in G) \quad \exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b) }[/math].

При этом вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального элемента и левого обратного элемента. При этом можно доказать, что они автоматически будут обычным нейтральным и обратным элементами[6].

Связанные определения

Основная статья: Словарь терминов теории групп
Группа и связанные с ней простейшие алгебраические структуры
  • В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности.
    • Пары элементов [math]\displaystyle{ a,\;b }[/math], для которых выполнено равенство [math]\displaystyle{ a*b = b*a }[/math], называются перестановочными или коммутирующими.
    • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
    • Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
  • Подгруппа — подмножество [math]\displaystyle{ H }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math], которое является группой относительно операции, определённой в [math]\displaystyle{ G }[/math].
  • Порядок группы [math]\displaystyle{ (G,*) }[/math] — мощность [math]\displaystyle{ G }[/math] (то есть число её элементов).
    • Если множество [math]\displaystyle{ G }[/math] конечно, то группа называется конечной.
  • Гомоморфизмы групп — это отображения групп, которые сохраняют групповую структуру. То есть отображение групп [math]\displaystyle{ f \colon (G,*) \to (H,\times) }[/math] называется гомоморфизмом, если удовлетворяет условию [math]\displaystyle{ f(a * b) = f(a) \times f(b) }[/math].
  • Две группы называются изоморфными, если существуют гомоморфизм групп [math]\displaystyle{ f \colon (G,*) \to (H,\times) }[/math] и гомоморфизм групп [math]\displaystyle{ g\colon (H,\times) \to (G,*) }[/math], такие что [math]\displaystyle{ f(g(a)) = a }[/math] и [math]\displaystyle{ g(f(b))=b }[/math], где [math]\displaystyle{ b\in G }[/math] и [math]\displaystyle{ a\in H }[/math]. В этом случае эти гомоморфизмы называются изоморфизмами.
  • Для элемента [math]\displaystyle{ g \in G }[/math] левый смежный класс по подгруппе [math]\displaystyle{ H }[/math] — множество [math]\displaystyle{ gH= \{gh \mid h\in H\} }[/math], правый смежный класс по подгруппе [math]\displaystyle{ H }[/math] — множество [math]\displaystyle{ Hg= \{hg \mid h\in H\} }[/math].
  • Нормальная подгруппа — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Для любого [math]\displaystyle{ g \in G }[/math], [math]\displaystyle{ gH = Hg }[/math].
  • Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой.

Стандартные обозначения

Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

  • результат операции называют произведением и записывают [math]\displaystyle{ a \cdot b }[/math] или [math]\displaystyle{ a b }[/math];
  • нейтральный элемент обозначается «[math]\displaystyle{ 1 }[/math]» или [math]\displaystyle{ e }[/math] и называется единицей;
  • обратный к [math]\displaystyle{ a }[/math] элемент записывается как [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math].

Если групповая операция именуется умножением, то саму такую группу [math]\displaystyle{ \mathrm{G} }[/math] при этом называют мультипликативной и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: [math]\displaystyle{ (\mathrm{G}, \cdot) }[/math].

Кратные произведения [math]\displaystyle{ aa }[/math], [math]\displaystyle{ aaa }[/math], [math]\displaystyle{ ... }[/math] записывают в виде натуральных степеней [math]\displaystyle{ a^2 }[/math], [math]\displaystyle{ a^3 }[/math],[math]\displaystyle{ ... }[/math][7]. Для элемента [math]\displaystyle{ a }[/math] корректно[8] определена целая степень, записывается следующим образом: [math]\displaystyle{ a^0=e }[/math], [math]\displaystyle{ a^{-n} = (a^{-1})^n }[/math].

Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

  • пишут «[math]\displaystyle{ a + b }[/math]» и называют получившийся элемент суммой элементов [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math];
  • нейтральный элемент обозначают как «[math]\displaystyle{ 0 }[/math]» и называют его нулём;
  • обратный элемент к [math]\displaystyle{ a }[/math] обозначают как «[math]\displaystyle{ -a }[/math]» и называют его противоположным к [math]\displaystyle{ a }[/math] элементом;
  • запись сокращают следующим образом: [math]\displaystyle{ a + (-b) = a -b }[/math];
  • выражения вида [math]\displaystyle{ a+a }[/math], [math]\displaystyle{ a+a+a }[/math],[math]\displaystyle{ -a-a }[/math] обозначают символами [math]\displaystyle{ 2a }[/math], [math]\displaystyle{ 3a }[/math], [math]\displaystyle{ -2a }[/math].

Если групповая операция именуется сложением, то саму такую группу [math]\displaystyle{ \mathrm{G} }[/math] при этом называют аддитивной и при полном способе записи обозначают так: [math]\displaystyle{ (\mathrm{G}, +) }[/math].[9] Этот термин относится только к способу записи операции в группе; он полезен, когда на множестве задано несколько операций. Например, можно говорить об аддитивной группе вещественных чисел или о мультипликативной группе положительных вещественных чисел. Кроме того, встречаются случаи, когда аддитивная группа изоморфна мультипликативной (см. Корни из единицы).

Примеры

  • Множество целых чисел, снабжённое операцией сложения, является группой.
  • Множество всех рациональных чисел, кроме нуля, с операцией умножения является группой.

Группы применяются в различных областях математики. Например, в топологии, введя понятие фундаментальной группы[10]. Помимо теоретического применения групп существует множество способов применения групп на практике. К примеру, они применяются в криптографии, которая опирается на вычислительную теорию групп и знания в области алгоритмов.

Применение теории групп не ограничивается только математикой, её широко используют в таких науках как физика, химия и информатика.

Часы показывают время по модулю 12. [math]\displaystyle{ \begin{align} n = 12\\ 9+4 &\equiv 1 \pmod {12}\, \end{align} }[/math].
  • Целые числа по модулю [math]\displaystyle{ n }[/math] — результатом сложения по модулю [math]\displaystyle{ n }[/math] является остаток суммы при делении на [math]\displaystyle{ n }[/math]. Множество целых чисел от [math]\displaystyle{ 0 }[/math] до [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] образует группу относительно этой операции, которая обозначается как [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}(n) }[/math] (иногда [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math]) и называется группой вычетов по модулю [math]\displaystyle{ n }[/math]. Нейтральный элемент — [math]\displaystyle{ 0 }[/math], обратный элемент к [math]\displaystyle{ a\neq0 }[/math] является число [math]\displaystyle{ n-a\equiv -a\pmod n }[/math]. Наглядным примером такой группы могут быть часы с циферблатом[11].
  • Целые числа с операцией сложения. [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z},+) }[/math] — коммутативная группа с нейтральным элементом [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. Целые числа с операцией умножения не будут образовывать группу. Замкнутость, ассоциативность и существование нейтрального элемента будет иметь место, но не выполнится аксиома о существовании обратного элемента. Например, [math]\displaystyle{ a=2 }[/math], тогда [math]\displaystyle{ a\cdot b=1 }[/math] то есть [math]\displaystyle{ b = 1/2 }[/math]. Обратный элемент не является целым числом[12].
  • Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность, а нейтральным элементом является единица[12].
  • Свободная группа с двумя образующими ([math]\displaystyle{ F_2 }[/math]) состоит из пустого слова (единица группы) и всех конечных слов из четырёх символов [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ b^{-1} }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ a }[/math] не появляется рядом с [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] не появляется рядом с [math]\displaystyle{ b^{-1} }[/math]. Операция умножения таких слов — это просто соединение двух слов в одно с последующим сокращением пар [math]\displaystyle{ aa^{-1} }[/math], [math]\displaystyle{ a^{-1}a }[/math], [math]\displaystyle{ bb^{-1} }[/math] и [math]\displaystyle{ b^{-1}b }[/math][13].
  • Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Мощность конечной симметрической группы [math]\displaystyle{ S_{n} }[/math] для множества из [math]\displaystyle{ n }[/math] элементов равна [math]\displaystyle{ n! }[/math]. При [math]\displaystyle{ n \geq 3 }[/math] эта группа не является абелевой[14]. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли)[12][15].
6 комплексных корней из единицы образуют циклическую группу
  • Циклические группы состоят из степеней [math]\displaystyle{ \langle a \rangle = \{ a^n \mid n \in \mathbb{Z} \} }[/math] одного элемента [math]\displaystyle{ a }[/math]. Элемент [math]\displaystyle{ a }[/math] называется образующим циклической группы. Циклические группы всегда коммутативны. Примером такой группы являются уже упомянутые целые числа по сложению. Циклической будет группа, состоящая из [math]\displaystyle{ n }[/math] комплексных корней из единицы, то есть группа комплексных чисел [math]\displaystyle{ z }[/math], удовлетворяющих условию [math]\displaystyle{ z^n = 1 }[/math] и операции умножения комплексных чисел[16]. Мультипликативная конечная группа [math]\displaystyle{ (\mathrm{G}, \cdot) }[/math] также является циклической. Например, [math]\displaystyle{ 3 }[/math] является образующим элементом группы [math]\displaystyle{ \mathrm{G} }[/math] при [math]\displaystyle{ n = 5 }[/math]:
[math]\displaystyle{ \begin{align} 3^1 &\equiv 3 \pmod 5\\ 3^2 &\equiv 4 \pmod 5\\ 3^3 &\equiv 2 \pmod 5\\ 3^4 &\equiv 1 \pmod 5\, \end{align} }[/math]

Простейшие свойства

  • Для каждого элемента [math]\displaystyle{ a }[/math] обратный элемент [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] единственен.
  • Нейтральный элемент единственен:
    Если [math]\displaystyle{ e_1, e_2 }[/math]— нейтральные, то [math]\displaystyle{ e_1 \cdot e_2 = e_1 = e_2 \cdot e_1 = e_2 = e_1 }[/math].
  • [math]\displaystyle{ (a^m)^n=a^{mn} }[/math].
  • [math]\displaystyle{ (a^{-1})^{-1} = a }[/math].
  • [math]\displaystyle{ a^{m+n}=a^m\cdot a^n }[/math].
  • [math]\displaystyle{ e^n=e }[/math], для любого [math]\displaystyle{ n \in\mathbb{Z} }[/math][9].
  • [math]\displaystyle{ (ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1} }[/math].
  • Верны законы сокращения:
    [math]\displaystyle{ c \cdot a = c \cdot b \Leftrightarrow a = b }[/math],
    [math]\displaystyle{ a \cdot c = b \cdot c \Leftrightarrow a = b }[/math].
  • Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент[19].
  • Группа содержит единственное решение [math]\displaystyle{ x }[/math] любого уравнения [math]\displaystyle{ x \cdot c = b }[/math] или [math]\displaystyle{ c \cdot x = b }[/math]; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление»[1].
  • Пересечение двух подгрупп группы [math]\displaystyle{ \mathrm{G} }[/math] есть подгруппа группы [math]\displaystyle{ \mathrm{G} }[/math][20].
  • Теорема Лагранжа: если [math]\displaystyle{ \mathrm{G} }[/math] — группа конечного порядка [math]\displaystyle{ g }[/math], то порядок [math]\displaystyle{ g_1 }[/math] любой её подгруппы [math]\displaystyle{ \mathrm{G_1} }[/math] является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы[21].
  • Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

Способы задания группы

Группу можно задать:

  • С помощью порождающего множества[22] и набора соотношений между его элементами;
  • Факторгруппой [math]\displaystyle{ G / H }[/math], где [math]\displaystyle{ G }[/math] — некоторая группа и [math]\displaystyle{ H }[/math] — её нормальная подгруппа[23];
  • Полупрямым произведением двух групп и, в частности,
    • Прямым произведением двух групп [math]\displaystyle{ (G, \cdot ) }[/math] и [math]\displaystyle{ (H, \cdot ) }[/math], то есть множеством [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: [math]\displaystyle{ (g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 \cdot h_2) }[/math][24];
  • Свободным произведением двух групп: свободное произведение групп [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] есть группа, система образующих[25] которой есть объединение систем образующих [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math], a система соотношений[26] есть объединение систем соотношений [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math][27].

История

Современное понятие группы сформировалось из нескольких областей математики. Первоначальной движущей силой теории групп были поиски решений алгебраических уравнений степени выше четырёх. Французский математик 19-го века Эварист Галуа, доработав исследования Руффини и Лагранжа, дал критерий разрешимости конкретного алгебраического уравнения с точки зрения группы симметрии его решений. Элементы такой группы Галуа соответствуют определённым перестановкам корней. Идеи Галуа были отвергнуты современниками и опубликованы посмертно Лиувиллем в 1846 году. Опираясь на те же работы, что и Галуа, Коши подробно исследовал группы перестановок[3]. Впервые понятие конечной группы вводит Артур Кэли в 1854 году в своей работе «Глава по теории групп, зависящих от символического уравнения θn = 1» (англ. "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn[math]\displaystyle{ = }[/math]1")[28].

Геометрия — вторая область, где группы применялись систематически, особенно группы симметрии как часть «Эрлангенской программы» немецкого математика Феликса Клейна. После возникновения новых разделов геометрии, таких как гиперболическая и проективная геометрии, Клейн использовал теорию групп для их лучшего согласования. Дальнейшее развитие этих идей приводит к введению понятия группы Ли в математику в 1884 году[3].

Третья область математики, поспособствовавшая развитию теории групп, — теория чисел. Некоторые абелевы группы были неявно использованы в работе Гаусса «Арифметические исследования» (1801). В 1847 году Эрнст Куммер сделал первые попытки доказать Великую теорему Ферма с помощью групп, описывающих разложения на простые числа. В 1870 году Кронекер обобщил работы Куммера и дал близкое к современному определение конечной абелевой группе[3].

Обособление теории групп началось с работы Камиля Жордана «Трактат о заменах и алгебраических уравнениях» (1870)[29]. В 20 веке теория групп начала активно развиваться. Появились на свет пионерская работа Фробениуса и Бёрнсайда о представлении конечных групп, модульная теория представлений Ричарда Браура и записи Шура. Значительных успехов в изучении теории групп Ли и локально компактных групп достигли Вейль и Картан. Алгебраическим дополнением этих теорий стала теория алгебраических групп, впервые сформулированная Клодом Шевалле, позднее упоминаемая в работах Бореля и Титса[3].

В 1960—61 учебном году в Чикагском университете проходил год теории групп, который собрал вместе таких теоретиков как Даниель Горенстейн, Джон Томпсон и Уолтер Фейт, тем самым заложив фундамент сотрудничества большого числа математиков, которые впоследствии вывели теорему о классификации всех простых конечных групп в 1980-х годах. Этот проект превысил по своим размерам все предыдущие попытки классифицировать группы, как по длине доказательств, так и по количеству учёных, вовлечённых в эту работу. Текущие исследования направлены на упрощение классификации групп. В настоящее время теория групп продолжает активно развиваться и оказывать влияние на остальные разделы математики[5][30][31].

Вариации и обобщения

Группы с дополнительной структурой

Многие группы одновременно обладают какой-либо другой (дополнительной) математической структурой. На языке теории категорий это — групповые объекты в категории; иными словами, это — объекты (то есть, например, множества, обладающие определённой математической структурой), для которых задан класс некоторых преобразований (именуемых морфизмами), следующих аксиомам группы. В частности, всякая группа (в ранее определённом смысле) одновременно является множеством, так что группа есть групповой объект в категории множеств Set (морфизмы в этой категории — отображения множеств)[35].

Кольца

Основная статья: Кольцо (математика)

Кольцо — множество [math]\displaystyle{ K }[/math], на котором определены бинарные операции коммутативного сложения и (не обязательно коммутативного) умножения, причём относительно сложения К образует группу, а умножение связано со сложением дистрибутивным законом.

Кольцо называют коммутативным и ассоциативным, если заданная на нём операция умножения коммутативна и соответственно ассоциативна. Элемент кольца [math]\displaystyle{ 1 }[/math] называется единицей, если выполнено условие: [math]\displaystyle{ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] — любой элемент кольца.

Числовые множества Z, Q, R являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей. Множество векторов с операцией векторного умножения является антикоммутативным кольцом (то есть [math]\displaystyle{ a \cdot b = - b \cdot a }[/math]) в силу свойств векторного умножения[36]: [math]\displaystyle{ a \times b + b \times a = 0 }[/math].

Поля

Основная статья: Поле (алгебра)

Поле — это коммутативное ассоциативное кольцо [math]\displaystyle{ F }[/math] с единицей, причём относительно сложения [math]\displaystyle{ F }[/math] образует группу, а ненулевые его элементы являются группой по умножению. Поле не может состоять из одного нуля. Множества рациональных и вещественных чисел являются полями. В любом поле [math]\displaystyle{ a \cdot b = 0 }[/math] только при [math]\displaystyle{ a = 0 }[/math] и/или [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math][37].

Топологические группы

Основная статья: Топологическая группа

Некоторые топологические пространства могут быть одновременно снабжены и групповой структурой. В этом случае такое пространство может оказаться топологической группой.

Именно, топологическая группа — это группа, являющаяся одновременно топологическим пространством, причём умножение элементов группы [math]\displaystyle{ \mathrm{G} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G} }[/math] и операция взятия обратного элемента [math]\displaystyle{ \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G} }[/math] оказываются непрерывными отображениями в используемой топологии[38]. Топологические группы являются групповыми объектами в топологических пространствах Top[35].

Наиболее важные примеры топологических групп — это аддитивная группа вещественных чисел [math]\displaystyle{ (\mathbb{R}, +) }[/math], мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел [math]\displaystyle{ (\mathbb{R^*}, \cdot) }[/math], полная линейная группа [math]\displaystyle{ GL(n) }[/math], специальная линейная группа [math]\displaystyle{ SL(n) }[/math], ортогональная группа [math]\displaystyle{ O(n) }[/math], специальная ортогональная группа [math]\displaystyle{ SO(n) }[/math], унитарная группа [math]\displaystyle{ U(n) }[/math], специальная унитарная группа [math]\displaystyle{ SU(n) }[/math][39].

Группы Ли

Основная статья: Группа Ли

Группа Ли (в честь Софуса Ли) — это группа, которая одновременно является дифференцируемым многообразием над полем K (в роли последнего могут выступать поля вещественных или комплексных чисел), причём умножение элементов группы [math]\displaystyle{ \mathrm{G} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G} }[/math] и операция взятия обратного элемента [math]\displaystyle{ \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G} }[/math] оказываются гладкими отображениями (в комплексном случае требуется голоморфность введённых отображений). При этом всякая комплексная [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерная группа Ли является одновременно вещественной группой Ли размерности [math]\displaystyle{ 2n }[/math][40].

Все конкретные группы, приведённые в предыдущем подразделе в качестве примеров топологических групп, одновременно являются и группами Ли.

Естественным образом группы Ли возникают при рассмотрении непрерывных симметрий; так, группу Ли образуют[41] изометрии вида [math]\displaystyle{ \mathrm{E} \rightarrow \mathrm{E} }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathrm{E} }[/math] — евклидово точечное пространство. Полученная группа, обозначаемая [math]\displaystyle{ Is(\mathrm{E} ) }[/math][42], является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы пространства [math]\displaystyle{ \mathrm{E} }[/math], обозначаемой [math]\displaystyle{ Aff(\mathrm{E} ) }[/math][43].

Группы Ли являются лучшими из многообразий в плане богатства имеющейся на них структуры и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют видную роль в геометрии, математическом анализе, механике и физике[40].

См. также

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 16. — 288 с. — 11 800 экз.
  2. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 9—14. — 288 с. — 11 800 экз.
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Israel Kleiner. The Evolution of Group Theory: A Brief Survey (англ.) // Mathematics Magazine : журнал. — 1986. — October (vol. 59, no. 4). — P. 195—215. — doi:10.2307/2690312.
  4. ↑ Только в 2005 году, согласно данным MathSciNet, было опубликовано более 2 тыс. исследовательских работ в области Group theory and generalisations.
  5. ↑ 5,0 5,1 Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию = Finite simple Groups. An Introduction to Their Classification / под ред. А.И. Кострикина. — Мир. — Москва: Мир, 1985. — С. 9—17. — 352 с. — 5250 экз.
  6. ↑ Сагалович, 2010, с. 50.
  7. ↑ Натуральная степень элемента корректно определяется благодаря ассоциативности
  8. ↑ Корректность вытекает из единственности обратного элемента.
  9. ↑ 9,0 9,1 Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 18. — 288 с. — 11 800 экз.
  10. ↑ Hatcher Allen. Algebraic topology. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — P. 30. — ISBN 978-0-486-45868-7.
  11. ↑ М. Вельшенбах. Глава 5. Модульная математика: вычисление в классах вычетов. // Криптография на C и C++ в действии. — М.: «Триумф», 2004. — С. 81—84. — 464 с. — ISBN 5-89392-083-X.
  12. ↑ 12,0 12,1 12,2 Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 18—19. — 448 с. — ISBN 5-02-013916-5.
  13. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 122—124. — 288 с. — 11 800 экз.
  14. ↑ Курош А. Г. Теория групп / под ред. Брудно К. Ф. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1967. — С. 34. — 648 с. — 20 000 экз.
  15. ↑ Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 351. — 559 с. — 40 000 экз.
  16. ↑ Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 162—163. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  17. ↑ Schönert, Martin. Analyzing Rubik's Cube with GAP (англ.). Дата обращения: 19 июля 2013. Архивировано 5 сентября 2013 года.
  18. ↑ Постников М. М. Теория Галуа. — Москва: Физматгиз, 1963. — С. 126—127. — 220 с. — 11 500 экз.
  19. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 17. — 288 с. — 11 800 экз.
  20. ↑ Сагалович, 2010, с. 56.
  21. ↑ Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 353. — 559 с. — 40 000 экз.
  22. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 24. — 288 с. — 11 800 экз.
  23. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 45—46. — 288 с. — 11 800 экз.
  24. ↑ Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е. — Факториал Пресс, 2001. — С. 409, 415. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  25. ↑ Ленг С. Алгбра. М.: Мир, 1964. С. 23.
  26. ↑ Ленг С. Алгбра. М.: Мир, 1964. С. 52.
  27. ↑ Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 330—331. — 448 с. — ISBN 5-02-013916-5.
  28. ↑ Cayley (1854) «On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1», Philosophical Magazine, 4th series, (42) : 40-47.
  29. ↑ Wussing, Hans. The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory. — Review of General Psychology. — Нью-Йорк: Dover Publications, 2007. — P. 154. — ISBN 978-0-486-45868-7.
  30. ↑ Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov. Walter Feit (1930–2004) Walter Feit (1930–2004) (англ.) // Notices of the American Mathematical Society : журнал. — 2005. — August (vol. 52, no. 7). — P. 728—735.
  31. ↑ Wilson, Robert A. The finite simple groups. — Graduate Texts in Mathematics. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2009. — P. 2—5. — ISBN 978-1-84800-987-5. — doi:10.1007/978-1-84800-988-2.
  32. ↑ Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 5. — 223 с. — 2800 экз.
  33. ↑ Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 6. — 223 с. — 2800 экз.
  34. ↑ 34,0 34,1 Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 346—347. — 559 с. — 40 000 экз.
  35. ↑ 35,0 35,1 Букур И., Деляну А. Введение // Введение в теорию категорий и функторов = Introduction to the theory of categories and functors / пер. с англ. Д. А. Райкова , В. Ф. Ретах . — М.: Мир, 1972. — С. 9—10. — 259 с.
  36. ↑ Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 14—15. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  37. ↑ Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 16. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  38. ↑ Бурбаки Н.  Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. М.: Наука, 1969.  С. 12.
  39. ↑ Рохлин В. А., Фукс Д. Б.  Начальный курс топологии. Геометрические главы.  М.: Наука, 1977.  С. 268—271.
  40. ↑ 40,0 40,1 Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 501. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  41. ↑ Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986. С. 201.
  42. ↑ Дьедонне Ж.  Линейная алгебра и элементарная геометрия. М.: Наука, 1972. С. 129.
  43. ↑ Долгачёв И. В., Широков А. П. Аффинное пространство // Матем. энциклопедия. Т. 1. М.: Сов. энциклопедия, 1982. Стб. 362—363.

Литература

Научная литература

  • Шаблон:Source
  • Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
  • Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
  • Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
  • Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
  • Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
  • Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.

Популярная литература

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Группа_(математика)&oldid=19518653