Теоремы Силова

В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Силовом в 1872 г.

Определения

Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] — конечная группа, а [math]\displaystyle{ p }[/math] — простое число, которое делит порядок [math]\displaystyle{ G }[/math]. Подгруппы порядка [math]\displaystyle{ p^t }[/math] называются [math]\displaystyle{ p }[/math]-подгруппами.

Выделим из порядка группы [math]\displaystyle{ G }[/math] максимальную степень [math]\displaystyle{ p }[/math], то есть [math]\displaystyle{ |G| = p^ns }[/math], где [math]\displaystyle{ s }[/math] не делится на [math]\displaystyle{ p }[/math]. Тогда силовской [math]\displaystyle{ p }[/math]-подгруппой называется подгруппа [math]\displaystyle{ G }[/math], имеющая порядок [math]\displaystyle{ p^n }[/math].

Теоремы

Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] — конечная группа. Тогда:

Силовская [math]\displaystyle{ p }[/math]-подгруппа существует.
Всякая [math]\displaystyle{ p }[/math]-подгруппа содержится в некоторой силовской [math]\displaystyle{ p }[/math]-подгруппе. Все силовские [math]\displaystyle{ p }[/math]-подгруппы сопряжены (то есть каждая представляется в виде [math]\displaystyle{ gPg^{-1} }[/math], где [math]\displaystyle{ g }[/math] — элемент группы, а [math]\displaystyle{ P }[/math] — силовская подгруппа из теоремы 1).
Количество силовских [math]\displaystyle{ p }[/math]-подгрупп [math]\displaystyle{ N_p }[/math] сравнимо с единицей по модулю [math]\displaystyle{ p }[/math] ([math]\displaystyle{ N_p \equiv 1 \; {\rm mod\,} p }[/math]) и делит [math]\displaystyle{ s }[/math], где [math]\displaystyle{ |G|=p^k s }[/math] и [math]\displaystyle{ (p,s)=1 }[/math].

Следствие

Если все делители [math]\displaystyle{ |G| }[/math], кроме 1, после деления на [math]\displaystyle{ p }[/math] дают остаток, отличный от единицы, то в [math]\displaystyle{ G }[/math] есть единственная силовская [math]\displaystyle{ p }[/math]-подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Например: Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой. [math]\displaystyle{ 350 = 2\cdot 5^2\cdot 7 }[/math], значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. [math]\displaystyle{ N_5 }[/math] должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в [math]\displaystyle{ G }[/math] одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому [math]\displaystyle{ G }[/math] не может быть простой.

Доказательства

Пусть [math]\displaystyle{ p^n }[/math] — примарный по [math]\displaystyle{ p }[/math] делитель порядка [math]\displaystyle{ G }[/math].

1. Докажем теорему индукцией по порядку [math]\displaystyle{ G }[/math]. При [math]\displaystyle{ |G| = p }[/math] теорема верна. Пусть теперь [math]\displaystyle{ |G| \gt p }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math] — центр группы [math]\displaystyle{ G }[/math]. Возможны два случая:

а) [math]\displaystyle{ p }[/math] делит [math]\displaystyle{ |Z| }[/math]. Тогда в центре существует циклическая группа [math]\displaystyle{ \langle a\rangle_{p^k} }[/math] (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в [math]\displaystyle{ G }[/math]. Факторгруппа [math]\displaystyle{ G }[/math] по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем [math]\displaystyle{ G }[/math], значит, по предположению индукции, в ней существует силовская [math]\displaystyle{ p }[/math]-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в [math]\displaystyle{ G }[/math]. Он и будет нужной нам силовской [math]\displaystyle{ p }[/math]-подгруппой [math]\displaystyle{ G }[/math].

б) [math]\displaystyle{ p }[/math] не делит [math]\displaystyle{ |Z| }[/math]. Тогда рассмотрим разбиение [math]\displaystyle{ G }[/math] на классы сопряжённости: [math]\displaystyle{ |G| = |Z| + \sum |K_a| }[/math] (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок [math]\displaystyle{ G }[/math] делится на [math]\displaystyle{ p }[/math], значит, должен найтись класс [math]\displaystyle{ K_a }[/math], порядок которого не делится на [math]\displaystyle{ p }[/math]. Соответствующий ему централизатор [math]\displaystyle{ Z_G(a) }[/math] имеет порядок [math]\displaystyle{ p^n r }[/math], [math]\displaystyle{ r \lt s }[/math]. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская [math]\displaystyle{ p }[/math]-подгруппа — она и будет искомой.

2. Пусть [math]\displaystyle{ H }[/math] — произвольная [math]\displaystyle{ p }[/math]-подгруппа [math]\displaystyle{ G }[/math]. Рассмотрим её действие на множестве левых классов смежности [math]\displaystyle{ G/P }[/math] левыми сдвигами, где [math]\displaystyle{ P }[/math] — силовская [math]\displaystyle{ p }[/math]-подгруппа. Число элементов любой нетривиальной орбиты должно делиться на [math]\displaystyle{ p }[/math]. Но [math]\displaystyle{ |G/P| }[/math] не делится на [math]\displaystyle{ p }[/math], значит, у действия есть неподвижная точка [math]\displaystyle{ gP }[/math]. Получаем [math]\displaystyle{ \forall h \in H \quad hga = ga',\quad a,a' \in P }[/math], а значит, [math]\displaystyle{ h = ga'a^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1} }[/math], то есть [math]\displaystyle{ H }[/math] лежит целиком в некоторой силовской [math]\displaystyle{ p }[/math]-подгруппе.

Если при этом [math]\displaystyle{ H }[/math] — силовская [math]\displaystyle{ p }[/math]-подгруппа, то она сопряжена с [math]\displaystyle{ P }[/math].

3. Количество силовских p-подгрупп есть [G:N_G(P)], значит, оно делит |G|. По теореме 2, множество всех силовских p-подгрупп есть X = {gPg^-1}. Рассмотрим действие P на X сопряжениями. Пусть при этом действии H из X — неподвижная точка. Тогда P и H принадлежат нормализатору подгруппы H и при этом сопряжены в N_G(H) как его силовские p-подгруппы. Но H нормальна в своём нормализаторе, значит, H = P и единственная неподвижная точка действия — это P. Поскольку порядки всех нетривиальных орбит кратны p, получаем [math]\displaystyle{ N_p \equiv 1 \pmod p }[/math].

Нахождение силовской подгруппы

Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

Литература

А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.
Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.