Группа Пуанкаре

Гру́ппа Пуанкаре́ (неоднородная группа Лоренца) — группа движений пространства Минковского, совпадающая с группой всех вещественных преобразований 4-векторов [math]\displaystyle{ x=x^\mu=\{x^0,x^1,x^2,x^3\} }[/math] вида [math]\displaystyle{ x'^\mu = \Lambda_\nu^\mu x^\nu + a^\mu }[/math], где [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] — преобразование из группы Лоренца, [math]\displaystyle{ a^\mu }[/math] — 4-вектор смещения (трансляции). Элемент группы Пуанкаре обычно записывается как [math]\displaystyle{ \{a,\Lambda\} }[/math], а закон композиции имеет вид

[math]\displaystyle{ \{a_1, \Lambda_1\} \{a_2,\Lambda_2\} = \{a_1+ \Lambda_1 a_2,\Lambda_1 \Lambda_2\}. }[/math]

Группа Пуанкаре относится к классу линейных неоднородных групп, обозначается как [math]\displaystyle{ P }[/math] или [math]\displaystyle{ IO(1,3) }[/math] и играет важную роль в специальной теории относительности, являясь группой её глобальной симметрии. Математическая форма

• законов релятивистской кинематики,
• уравнений Максвелла в теории электромагнетизма,
• уравнения Дирака в теории электрона

остаётся инвариантной по отношению к преобразованиям Лоренца. Таким образом, группа Пуанкаре характеризует фундаментальную симметрию наиболее важных законов природы.

Группа была введена в 1905 году Анри Пуанкаре. Как и группа Лоренца, группа [math]\displaystyle{ P }[/math] имеет четыре компоненты связности, различаемые значениями [math]\displaystyle{ \det \Lambda }[/math] и знаком [math]\displaystyle{ \Lambda_0^0 }[/math]. Это — неабелева, некомпактная и непростая группа Ли. Наиболее важной является компонента [math]\displaystyle{ P }[/math], у которой [math]\displaystyle{ \det \Lambda=1 }[/math], [math]\displaystyle{ \Lambda^0_0\gt 0 }[/math], содержащая тождественное преобразование.

Группа [math]\displaystyle{ P }[/math] — 10-параметрическая: к шести генераторам [math]\displaystyle{ M_{\mu\nu} }[/math] группы Лоренца добавляются четыре генератора трансляций.