Четверная группа Клейна

Не следует путать с клейновой группой.

Четверна́я гру́ппа Кле́йна — нециклическая конечная коммутативная группа четвёртого порядка, играет важную роль в общей алгебре, комбинаторике и геометрии. Обычно обозначается [math]\displaystyle{ V }[/math] или [math]\displaystyle{ V_{4} }[/math] (от нем. Vierergruppe — четверная группа). Впервые описана и исследована Феликсом Клейном в 1884 году.

• 

  Граф циклов четверной группы Клейна

• 

  Граф Кэли четверной группы Клейна

Бинарная операция между элементами [math]\displaystyle{ \{1, a, b, ab\} }[/math] (единица — нейтральный элемент группы) задаётся следующей таблицей Кэли:

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c||rrrr|} \cdot & 1 & a & b & ab \\ \hline 1 & 1 & a & b & ab \\ a & a & 1 & ab & b \\ b & b & ab & 1 & a \\ ab & ab & b & a & 1 \\ \end{array} }[/math]

Порядок каждого элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической. Является прямым произведением циклических групп второго порядка [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 }[/math]; наименьшей по порядку нециклической группой.

Является простейшей группой диэдра [math]\displaystyle{ D_2 }[/math]. Любая группа четвёртого порядка изоморфна либо циклической группе, либо четверной группе Клейна. Симметрическая группа [math]\displaystyle{ S_{4} }[/math] имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь две нормальные подгруппы — знакопеременную группу [math]\displaystyle{ A_{4} }[/math] и четверную группу Клейна [math]\displaystyle{ V_{4} }[/math], состоящую из подстановок [math]\displaystyle{ (), (12)(34), (13)(24), (14)(23) }[/math].

Симметрии ромба

Встречается во многих разделах математики, примеры изоморфных ей групп:

• множество [math]\displaystyle{ \{0, 1, 2, 3\} }[/math] с операцией побитовое исключающее ИЛИ;
• приведённая система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1, 3, 5, 7 и по модулю 12, состоящая из классов 1, 5, 7, 11;
• группа симметрий ромба в трёхмерном пространстве, состоящая из 4 преобразований: тождественное, поворот на [math]\displaystyle{ 180^\circ }[/math] и два отражения относительно диагоналей.
• группа поворотов тетраэдра на угол [math]\displaystyle{ \pi }[/math] вокруг всех трёх рёберных медиан (вместе с тождественным поворотом).

Литература

• П. С. Александров. Введение в теорию групп. — М.: Наука, 1980. — 144 с. с. — (Библиотечка Квант, вып. 7).
• Ф. Клейн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. — М.: Наука, 1989. — 336 с.