Специальная унитарная группа
Специальная унитарная группа — группа унитарных матриц заданного порядка с определителем, равным 1, и произведением матриц как групповой операцией; для матриц размером [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(n) }[/math].
Специальная унитарная группа является подгруппой унитарной группы [math]\displaystyle{ \mathrm U (n) }[/math], состоящей из всех унитарных матриц [math]\displaystyle{ n \times n }[/math].
Генераторы
SU(2)
Для группы [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(2) }[/math] генераторы известны как матрицы Паули:
[math]\displaystyle{ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} }[/math] |
SU(3)
Аналогом матриц Паули для [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(3) }[/math] служат матрицы Гелл-Манна:
[math]\displaystyle{ \lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | |
[math]\displaystyle{ \lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | |
[math]\displaystyle{ \lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} }[/math] |
Генераторы для [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(3) }[/math] определяются как [math]\displaystyle{ T }[/math] с использованием соотношения:
- [math]\displaystyle{ T_a = \frac{\lambda_a}{2} }[/math].
Они подчиняются следующим соотношениям:
- [math]\displaystyle{ \left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} }[/math], где [math]\displaystyle{ f }[/math] — структурная константа, значения которой равны:
- [math]\displaystyle{ f_{123} = 1 }[/math],
- [math]\displaystyle{ f_{147} = f_{165} = f_{246} = f_{257} = f_{345} = f_{376} = \frac{1}{2} }[/math],
- [math]\displaystyle{ f_{458} = f_{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} }[/math];
- [math]\displaystyle{ \operatorname{tr}(T_a) = 0 }[/math].
SU(4)
Эрмитовы матрицы генераторы для [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(4) }[/math], аналогичные матрицам Паули и матрицам Гелл-Манна, имеют вид:
[math]\displaystyle{ \lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | |
[math]\displaystyle{ \lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0& 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | |
[math]\displaystyle{ \lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i & 0\\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \lambda_9 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | |
[math]\displaystyle{ \lambda_{10} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \lambda_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \lambda_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | |
[math]\displaystyle{ \lambda_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \lambda_{14} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \lambda_{15} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} }[/math] |
Эти матрицы ортогональны, а также удоволетворяют выражению для следа:
- [math]\displaystyle{ Tr{(\lambda_k^2)} = 2; k=1..15 }[/math]
- [math]\displaystyle{ [[\lambda_l, \lambda_k], \lambda_j ]+[[\lambda_k,\lambda_j],\lambda_l]+[[\lambda_j,\lambda_l],\lambda_k]=0; j\lt k\lt l; j,k,l=1..15 }[/math]
При этом коммутатор вычисляется как:
- [math]\displaystyle{ [\lambda_j,\lambda_k] = 2i\sum_m f_{jkl}\lambda_l }[/math]
Таблица структурных констант [math]\displaystyle{ f_{jkl} }[/math]
- [math]\displaystyle{ f_{1,2,3} = 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ f_{1,4,7} = f_{2,4,6} = f_{2,5,7} = f_{3,4,5} = f_{1,9,12} = f_{2,9,11} = f_{2,10,12} = f_{3,9,10} = f_{4,9,14} = f_{5,10,14} = f_{6,11,14} =f_{7,11,13} = f_{7,12,14} = \frac 1 2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ f_{1,5,6} = f_{3,6,7} = f_{1,10,11} = f_{3,11,12} = f_{4,10,13} = f_{6,12,13} = -\frac 1 2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ f_{4,5,8} = f_{6,7,8} = f_{8,9,10} = f_{8,11,12} = f_{9,10,15} = f_{11,12,15} = f_{13,14,15} = \frac {\sqrt{3}} 2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ f_{8,13,14}= -\frac {\sqrt{3}} 2 }[/math]
Литература
- Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics (англ.). — John Wiley & Sons, 1984. — ISBN 0-471-88741-2.
- Займан Дж. Современная квантовая теория. — М.: Мир, 1971. — 288 с.
- Исаев А. П., Рубаков В. А. Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. — М.: УРСС, 2018. — 491 с.