Свободное произведение

Свободным произведением групп называется группа, порождённая элементами этих двух групп, без каких-либо дополнительных соотношений.

Свободное произведение [math]\displaystyle{ G_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ G_2 }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ G_1*G_2 }[/math].

Определения

Если группы заданы через порождающие и соотношения [math]\displaystyle{ G_1=\langle S_1|R_1\rangle }[/math], [math]\displaystyle{ G_2=\langle S_2|R_2\rangle }[/math] то
[math]\displaystyle{ G_1*G_2=\langle S_1\cup S_2|R_1\cup R_2\rangle }[/math]
- Это определение также допускает естественное обобщение на случай свободного произведения любого числа групп.

Свободное произведение [math]\displaystyle{ G_1*G_2 }[/math] можно также определить как расслоенное копроизведение [math]\displaystyle{ G_1\amalg_{\{e\}} G_2 }[/math] для тривиальной группы [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math] в категории групп.

Примеры

Свободное произведение [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2*\mathbb{Z}_2 }[/math] изоморфно бесконечной группе диэдра [math]\displaystyle{ D_{\infty} }[/math].
Свободное произведение [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2*\mathbb{Z}_3 }[/math] изоморфно проективной группе [math]\displaystyle{ PSL(2,\mathbb{Z}) }[/math].
Свободное произведение [math]\displaystyle{ n }[/math] копий [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] — свободная группа с [math]\displaystyle{ n }[/math] образующими.
Теорема Зейферта — ван Кампена в частности утверждает, что если [math]\displaystyle{ X }[/math] — топологическое пространство, и [math]\displaystyle{ V,U\subset X }[/math] — два связных открытых множества таких, что пересечение [math]\displaystyle{ W=V\cap U }[/math] односвязно, и [math]\displaystyle{ X=V\cup U }[/math], то фундаментальная группа [math]\displaystyle{ X }[/math] есть свободное произведение фундаментальных групп [math]\displaystyle{ V }[/math] и [math]\displaystyle{ U }[/math]; то есть
[math]\displaystyle{ \pi_1 X=\pi_1V*\pi_1 U. }[/math]

Литература

Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.