Разрешимая группа
Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой заканчивается на тривиальной группе.
Понятие возникло в теории Галуа в связи с вопросом о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах: алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.
Эквивалентные определения
Разрешимая группа — группа [math]\displaystyle{ G }[/math], такая что убывающий ряд
- [math]\displaystyle{ G \triangleright G^{(1)} \triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots, }[/math]
в котором каждая следующая группа является коммутантом предыдущей, рано или поздно приводит к тривиальной подгруппе.
Можно доказать, что если [math]\displaystyle{ H }[/math] — нормальная подгруппа в [math]\displaystyle{ G }[/math], [math]\displaystyle{ H }[/math] разрешима и факторгруппа [math]\displaystyle{ G/H }[/math] разрешима, то [math]\displaystyle{ G }[/math] разрешима. Следовательно, следующее определение эквивалентно первому:
Разрешимая группа — это группа, для которой существует хотя бы один субнормальный ряд, в котором факторгруппы абелевы. Это значит, что существует цепочка подгрупп [math]\displaystyle{ \{1\} = G_0 \leqslant G_1 \leqslant \cdots \leqslant G_k = G }[/math], такая что [math]\displaystyle{ G_{j-1} }[/math] является нормальной подгруппой [math]\displaystyle{ G_j }[/math], и [math]\displaystyle{ G_j/G_{j-1} }[/math] — абелева группа.
Свойства
- Разрешимость конечной группы эквивалентна существованию субнормального ряда, в котором все промежуточные факторы циклические конечного порядка. Последнее следует из теоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп.
- Если две группы разрешимы, то их прямое произведение (и даже полупрямое произведение) разрешимо.
- Всякая подгруппа и факторгруппа разрешимой группы разрешима[1].
- Согласно теореме Бёрнсайда, любая группа, порядок которой делится менее чем на три различных простых числа, разрешима.
- Согласно теореме Файта — Томпсона, конечная группа нечётного порядка разрешима.
Примеры
- Все абелевы группы и все нильпотентные группы разрешимы.
- Симметрическая группа [math]\displaystyle{ S_n }[/math] является разрешимой тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ n\leqslant 4 }[/math].
- Группа невырожденных верхних треугольных матриц [math]\displaystyle{ \mathbf{UT}_n }[/math] разрешима.
- Свободная группа ранга больше единицы не является разрешимой.
- Все группы порядка, меньшего чем 60, разрешимы. Неразрешимая группа наименьшего порядка — это знакопеременная группа [math]\displaystyle{ A_5 }[/math] порядка 60.
Примечания
- ↑ Rotman, 1995, p. 102.
Литература
- Rotman, Joseph J. An introduction to the theory of groups. — 4th ed. — Springer, 1995. — Т. 148. — (Graduate texts in mathematics). — ISBN 978-0-387-94285-8.
- Мальцев А. И. Обобщённо нильпотентные алгебры и их присоединенные группы // Математический сборник . — 1949. — Т. 25, № 3. — С. 347—366.
