Бинарная операция

Бина́рная, или двуме́стная, опера́ция (от лат. bi «два») — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть операция с арностью два).

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ A,\;B,\;C }[/math] — тройка непустых множеств. Бинарной операцией, или бинарной функцией, на паре [math]\displaystyle{ A,\;B }[/math] со значениями в [math]\displaystyle{ C }[/math] называется отображение [math]\displaystyle{ P: A\times B \to C }[/math].

Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — непустое множество. Бинарной операцией на множестве [math]\displaystyle{ A }[/math], или внутренней бинарной операцией, называют отображение [math]\displaystyle{ P: A\times A \to A }[/math].

Первое определение соответствует франкоязычной традиции, второе — англоязычной. Чаще всего рассматриваются именно внутренние бинарные операции.

Также имеется близкое понятие закона композиции, объединяющее внутренние бинарные операции [math]\displaystyle{ P: A\times A \to A }[/math] (внутренние законы композиции) с бинарными операциями вида [math]\displaystyle{ P: A\times B \to A }[/math] или [math]\displaystyle{ P: B\times A \to A }[/math] (внешними законами композиции).

Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции [math]\displaystyle{ \circ }[/math] результат её применения к двум элементам [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] записывается в виде [math]\displaystyle{ x\circ y }[/math].

При этом, однако, используются другие формы записи бинарных операций, а именно:

префиксная (польская запись) — [math]\displaystyle{ \circ\,x\;y }[/math];
постфиксная (обратная польская запись) — [math]\displaystyle{ x\;y\,\circ }[/math].

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

Бинарная операция [math]\displaystyle{ \circ }[/math] называется коммутативной, только когда её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

[math]\displaystyle{ x\circ y=y\circ x,\quad\forall x,\;y\in M. }[/math]

Ассоциативная операция

Бинарная операция [math]\displaystyle{ \circ }[/math] называется ассоциативной, только когда

[math]\displaystyle{ (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z),\quad\forall x,\;y,\;z\in M. }[/math]

Для ассоциативной операции [math]\displaystyle{ \circ }[/math] результат вычисления [math]\displaystyle{ x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n }[/math] не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение [math]\displaystyle{ x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n }[/math] при [math]\displaystyle{ n\gt 2 }[/math] однозначно не определено.

Существует также более слабое, чем ассоциативность, свойство: альтернативность.

Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на [math]\displaystyle{ M }[/math] называют умноже́нием, то её результат для элементов [math]\displaystyle{ x,\;y\in M }[/math] называют их произведе́нием и обозначают [math]\displaystyle{ x\cdot y }[/math] или [math]\displaystyle{ xy }[/math]. В этом случае нейтральный элемент [math]\displaystyle{ e\in M }[/math], то есть элемент, удовлетворяющий равенствам

[math]\displaystyle{ x\cdot e=e\cdot x=x,\quad\forall x\in M, }[/math]

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов [math]\displaystyle{ x,\;y\in M }[/math] называют су́ммой и обозначают [math]\displaystyle{ x+y }[/math]. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

[math]\displaystyle{ x+0=0+x= x,\quad\forall x\in M. }[/math]

Обратная операция

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции существует не более одного нейтрального элемента, то есть два любых нейтральных элемента на самом деле оказываются совпадающими.

Доказательство

Пусть имеется два нейтральных элемента [math]\displaystyle{ e_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ e_{2} }[/math]. По определению нейтрального элемента, для любого элемента [math]\displaystyle{ x }[/math] должно выполняться:

[math]\displaystyle{ e_{1}\circ x=x\circ e_{1}=x, }[/math]

[math]\displaystyle{ e_{2}\circ x=x\circ e_{2}=x. }[/math]

Положим в первом из этих равенств [math]\displaystyle{ x=e_{2} }[/math], а во втором [math]\displaystyle{ x=e_{1} }[/math]:

[math]\displaystyle{ e_{1}\circ e_{2}=e_{2}\circ e_{1}=e_{2}, }[/math]

[math]\displaystyle{ e_{2}\circ e_{1}=e_{1}\circ e_{2}=e_{1}. }[/math]

Так как левые части этих равенств (после перестановки) равны, то равны и правые:

[math]\displaystyle{ e_{1}=e_{2}. }[/math]■

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного.

Доказательство

Предположим, что у некоторого элемента [math]\displaystyle{ a }[/math] есть два обратных элемента [math]\displaystyle{ b_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ b_2 }[/math]. По определению обратного элемента должны выполняться следующие равенства:

[math]\displaystyle{ a \circ b_{1}= b_{1}\circ a = e, }[/math]

[math]\displaystyle{ a \circ b_{2}= b_{2}\circ a = e. }[/math]

Рассмотрим выражение [math]\displaystyle{ b_1 \circ \left( a \circ b_2 \right) }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ b_2 }[/math] является обратным элементом к [math]\displaystyle{ a }[/math], то имеет место следующее равенство

[math]\displaystyle{ b_1 \circ \left( a \circ b_2 \right) = b_1 \circ e = b_1 }[/math].

С другой стороны, так как операция является ассоциативной, то

[math]\displaystyle{ b_1 \circ \left( a \circ b_2 \right) = \left( b_1 \circ a \right) \circ b_2 = e \circ b_2 = b_2. }[/math]

Левые части последних двух равенств равны, — значит, равны и правые, то есть [math]\displaystyle{ b_1 = b_2 }[/math], что и требовалось доказать. ■

См. также

Литература

Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.