Фундаментальная группа

Фундамента́льная гру́ппа — определённая группа, которая сопоставляется топологическому пространству. Грубо говоря, эта группа измеряет количество «дырок» в пространстве. Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать ("стянуть") некоторую замкнутую кривую в точку.

Фундаментальная группа пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ \pi_1(X,x_0) }[/math] или [math]\displaystyle{ \pi_1(X) }[/math], последнее обозначение применимо для связных пространств. Тривиальность фундаментальной группы обычно записывается как [math]\displaystyle{ \pi_1(X)=0 }[/math], хотя обозначение [math]\displaystyle{ \pi_1(X)=\{1\} }[/math] более уместно.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — топологическое пространство с отмеченной точкой [math]\displaystyle{ x_0\in X }[/math]. Рассмотрим множество петель в [math]\displaystyle{ X }[/math] из [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]; то есть множество непрерывных отображений [math]\displaystyle{ f\colon [0,1] \to X }[/math], таких что [math]\displaystyle{ f(0) = x_0 = f(1) }[/math]. Две петли [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия [math]\displaystyle{ f_t }[/math], удовлетворяющая свойству [math]\displaystyle{ f_t(0) = x_0 = f_t(1) }[/math]. Соответствующие классы эквивалентности (обозначаются [math]\displaystyle{ [f] }[/math]) называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

[math]\displaystyle{ (f*g)(t) = \begin{cases} f(2t), ~ t\in [0, {1 \over 2}] \\ g(2t-1), ~ t\in [{1 \over 2},1] \end{cases} }[/math]

Произведением двух гомотопических классов [math]\displaystyle{ [f] }[/math] и [math]\displaystyle{ [g] }[/math] называется гомотопический класс [math]\displaystyle{ [f*g] }[/math] произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] с отмеченной точкой [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ \pi_1(X,x_0) }[/math].

Комментарии

• Про [math]\displaystyle{ (X,x_0) }[/math] можно думать как о паре пространств [math]\displaystyle{ (X,\{x_0\}) }[/math].
• Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
• Если [math]\displaystyle{ X }[/math] — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать [math]\displaystyle{ \pi_1(X) }[/math] вместо [math]\displaystyle{ \pi_1(X,x_0) }[/math] не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек [math]\displaystyle{ x, y \in X }[/math] канонический изоморфизм между [math]\displaystyle{ \pi_1(X, x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi_1(X, y) }[/math] существует лишь если фундаментальная группа абелева.

Связанные определения

• Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств [math]\displaystyle{ \varphi: (X, x_0) \to (Y, \varphi(x_0)) }[/math] индуцирует гомоморфизм [math]\displaystyle{ \varphi_* = \pi_1 \varphi: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, \varphi(x_0)) }[/math], определяемый формулой [math]\displaystyle{ \varphi_*[f] = [\varphi f] }[/math]. Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор [math]\displaystyle{ \pi_1: \mathbf{hTop} \to \mathbf{Grp} }[/math].

• Пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] называется односвязным, если оно линейно связно и группа [math]\displaystyle{ \pi_1(X) }[/math] тривиальна (состоит только из единицы).

Примеры

• В [math]\displaystyle{ \R^n }[/math] есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, [math]\displaystyle{ \pi_1(\mathbb{R}^n) = 0 }[/math]. То же верно и для любого пространства — выпуклого подмножества [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math].

• В окружности [math]\displaystyle{ \mathbb S^1 }[/math], каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа окружности изоморфна аддитивной группе целых чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math].

• Фундаментальная группа [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерной сферы [math]\displaystyle{ \mathbb S^n }[/math] тривиальна при всех [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math].

• Фундаментальная группа восьмёрки [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^1 \vee \mathbb{S}^1 }[/math] неабелева — это свободное произведение [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} * \mathbb{Z} }[/math]. Справедлив более общий результат, следующий из теоремы ван Кампена: если [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] — линейно связные пространства и локально односвязны, то фундаментальная группа их букета (склейки по выделенной точке) изоморфна свободному произведению их фундаментальных групп: [math]\displaystyle{ \pi_1(X \vee Y) \cong \pi_1(X) * \pi_1(Y). }[/math]

• Фундаментальная группа плоскости [math]\displaystyle{ \R^2 }[/math] c [math]\displaystyle{ n }[/math] выколотыми точками — свободная группа с [math]\displaystyle{ n }[/math] порождающими.

• Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода [math]\displaystyle{ g }[/math] может быть задана образующими [math]\displaystyle{ a_1,\dots,a_g,b_1,\dots,b_g }[/math] с единственным соотношением: [math]\displaystyle{ a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\dots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}=1 }[/math].

Свойства

• Фундаментальная группа пространства зависит только от его гомотопического типа.
  • Обратное верно для линейно связных асферических пространств; см. также K(G,n) пространство.

• Если [math]\displaystyle{ A }[/math] — ретракт [math]\displaystyle{ X }[/math], содержащий отмеченную точку [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], то гомоморфизм [math]\displaystyle{ i_*: \pi_1(A, x_0) \to \pi_1(X, x_0) }[/math], индуцированный вложением [math]\displaystyle{ i: A \hookrightarrow X }[/math], инъективен.
  • В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности [math]\displaystyle{ X }[/math], содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего [math]\displaystyle{ X }[/math].
  • Если [math]\displaystyle{ A }[/math] — строгий деформационный ретракт [math]\displaystyle{ X }[/math], то [math]\displaystyle{ i_*: \pi_1(A, x_0) \to \pi_1(X, x_0) }[/math] является изоморфизмом.

• [math]\displaystyle{ \pi_1 }[/math] сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками [math]\displaystyle{ (X,x_0) }[/math] и [math]\displaystyle{ (Y,y_0) }[/math] существует изоморфизм

  [math]\displaystyle{ \pi_1(X\times Y,(x_0,y_0)) \cong \pi_1(X,x_0)\times\pi_1(Y,y_0), }[/math]

естественный по [math]\displaystyle{ (X, x_0) }[/math] и [math]\displaystyle{ (Y, y_0) }[/math].

• Теорема ван Кампена: Если [math]\displaystyle{ X }[/math] — объединение линейно связных открытых множеств [math]\displaystyle{ A_\alpha }[/math], каждое из которых содержит отмеченную точку [math]\displaystyle{ x_0 \in X }[/math], и если каждое пересечение [math]\displaystyle{ A_\alpha \cap A_\beta }[/math] линейно связно, то гомоморфизм [math]\displaystyle{ \Phi: \ast_\alpha \pi_1(A_\alpha) \to \pi_1(X) }[/math], индуцированный вложениями [math]\displaystyle{ A_\alpha \hookrightarrow X }[/math], сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение [math]\displaystyle{ A_\alpha \cap A_\beta \cap A_\gamma }[/math] линейно связно, то ядро гомоморфизма [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] — это наименьшая нормальная подгруппа [math]\displaystyle{ N }[/math], содержащая все элементы вида [math]\displaystyle{ i_{\alpha \beta}(\omega) i_{\beta \alpha}(\omega)^{-1} }[/math] (где [math]\displaystyle{ i_{\alpha \beta} }[/math] индуцирован вложением [math]\displaystyle{ A_\alpha \cap A_\beta \hookrightarrow A_\alpha }[/math]), а потому [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] индуцирует изоморфизм [math]\displaystyle{ \pi_1(x) \cong \ast_\alpha \pi_1(A_\alpha)/N }[/math] (первая теорема об изоморфизме). В частности,
  • [math]\displaystyle{ \pi_1 }[/math] сохраняет копроизведения: [math]\displaystyle{ \pi_1(\bigvee_\alpha X_\alpha) \cong \ast_\alpha \pi_1(X_\alpha) }[/math] естественно по всем [math]\displaystyle{ X_\alpha }[/math].
  • (случай двух [math]\displaystyle{ A_\alpha }[/math]): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что [math]\displaystyle{ \pi_1(A_1 \cup A_2) \cong \pi_1(A_1) \mathbin{\ast_{\pi(A_1 \cap A_2)}} \pi_1(A_2) }[/math], что является ограниченной (случаем линейно связного [math]\displaystyle{ A_1 \cap A_2 }[/math]) формой сохранения толчков.

• Фундаментальная группа топологической группы абелева, как демонстрирует аргумент Экманна-Хилтона.

• Свободные группы и только они могут быть реализованы как фундаментальные группы графов (действительно, стягивание остовного дерева в точку реализует гомотопическую эквивалентность графа и букета окружностей, также можно применить теорему ван Кампена).

• Произвольная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного клеточного комплекса.

• Произвольная конечно заданная группа может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия.

• Фундаментальная группа пространства действует сдвигами на универсальном накрытии этого пространства (если универсальное накрытие определено).

Вариации и обобщения

• Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
• Фундаментальным группоидом пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] называют группоид [math]\displaystyle{ \Pi(X) }[/math], объектами которого являются точки [math]\displaystyle{ X }[/math], а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом [math]\displaystyle{ \pi_1(X, x_0) \cong \operatorname{Aut}_{\Pi(X)}x_0 }[/math], и если [math]\displaystyle{ X }[/math] линейно связно, то вложение [math]\displaystyle{ \pi_1(X, x_0) \hookrightarrow \Pi(X) }[/math] является эквивалентностью категорий.

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• Матвеев С. В. Фундаментальная группа: Лекции по курсу «Топология». — Челябинск: ЧелГУ, 2001. — 16 с. (есть pdf)
• Фоменко Анатолий Тимофеевич. Дифференциальная геометрия и топология (доп. главы). — R&C dinamic, 1999. — 250 с.