Прямое произведение групп

Прямое произведение групп — операция, которая по группам [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] строит новую группу, обычно обозначающуюся как [math]\displaystyle{ G\times H }[/math]. Эта операция является теоретико-групповым аналогом декартова произведения множеств и одним из основных примеров понятия прямого произведения.

В контексте абелевых групп прямое произведение иногда называют прямой суммой и обозначают [math]\displaystyle{ G \oplus H }[/math]. Прямые суммы играют важную роль в классификации абелевых групп: согласно теореме о структуре конечнопорождённых абелевых групп, любая конечнопорождённая абелева группа может быть разложена в прямую сумму циклических групп.

Определение

Если [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] — группы с операциями [math]\displaystyle{ * }[/math] и [math]\displaystyle{ \triangle }[/math] соответственно, то прямое произведение [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] определяется следующим образом:

Множеством является декартово произведение, [math]\displaystyle{ G \times H }[/math]. Его элементами являются упорядоченные пары [math]\displaystyle{ (g, h) }[/math], где [math]\displaystyle{ g \in G }[/math] и [math]\displaystyle{ h \in H }[/math].
Бинарная операция [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] на [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] определяется покомпонентно:
[math]\displaystyle{ (g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) = (g_1 * g_2, h_1 \triangle h_2) }[/math]

Полученный алгебраический объект удовлетворяет аксиомам группы:

Ассоциативность бинарной операции: Бинарная операция на [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] ассоциативна, что проверяется покомпонентно.
Существование единичного элемента: Прямое произведение имеет единичный элемент [math]\displaystyle{ 1_{G\times H}=(1_G, 1_H) }[/math], где [math]\displaystyle{ 1_G }[/math] — единичный элемент [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ 1_H }[/math] — единичный элемент [math]\displaystyle{ H }[/math].
Существование обратного элемента: Обратный элемент к элементу [math]\displaystyle{ (g, h) }[/math] в [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] — это пара [math]\displaystyle{ (g^{-1}, h^{-1}) }[/math], где [math]\displaystyle{ g^{-1} }[/math] является обратным к [math]\displaystyle{ g }[/math] в [math]\displaystyle{ G }[/math], а [math]\displaystyle{ h^{-1} }[/math] — обратным к [math]\displaystyle{ h }[/math] в [math]\displaystyle{ H }[/math].

Примеры

Пусть [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] — группа вещественных чисел с операцией сложения. Тогда прямое произведение [math]\displaystyle{ \mathbb{R} \times \mathbb{R} }[/math] — группа всех двухкомпонентных векторов [math]\displaystyle{ (x, y) }[/math] с операцией сложения векторов:
[math]\displaystyle{ (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) }[/math].
Пусть [math]\displaystyle{ \mathbb{R^{+}} }[/math] — группа положительных вещественных чисел с операцией умножения. Тогда прямое произведение [math]\displaystyle{ \mathbb{R^{+}} \times \mathbb{R^{+}} }[/math] — это группа всех векторов в первой координатной четверти с операцией покомпонентного умножения:
[math]\displaystyle{ (x_1, y_1) \times (x_2, y_2) = (x_1 \times x_2, y_1 \times y_2) }[/math].
Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] — циклические группы, каждая из которых содержит два элемента:

[math]\displaystyle{ G }[/math]
* 1 a

1 1 a

a a 1
[math]\displaystyle{ H }[/math]
* 1 b

1 1 b

b b 1

Тогда прямое произведение [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] изоморфно четверной группе Клейна:

[math]\displaystyle{ G\times H }[/math]
*	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a, b)
(1,1)	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a, b)
(a,1)	(a,1)	(1,1)	(a, b)	(1,b)
(1,b)	(1,b)	(a, b)	(1,1)	(a,1)
(a, b)	(a, b)	(1,b)	(a,1)	(1,1)

Элементарные свойства

Порядок прямого произведения [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] конечных групп равен произведению порядков этих групп [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math]:
[math]\displaystyle{ |G \times H| = |G||H| }[/math].
Это следует из формулы мощности декартова произведения множеств.
Порядок каждого элемента [math]\displaystyle{ (g, h) }[/math] является наименьшим общим кратным порядков [math]\displaystyle{ g }[/math] и [math]\displaystyle{ h }[/math]^[1]:
[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}((g, h)) = lcm(\operatorname{ord}(g),\operatorname{ord}(h)) }[/math].
В частности, если [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(g) }[/math] и [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(h) }[/math] являются взаимно простыми, то порядок [math]\displaystyle{ (g, h) }[/math] равен произведению порядков [math]\displaystyle{ g }[/math] и [math]\displaystyle{ h }[/math].
Как следствие, если [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] — циклические группы, порядки которых являются взаимно простыми числами, то прямое произведение [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] также является циклической группой. А именно, если [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math] взаимно просты, то
[math]\displaystyle{ (\mathbb{Z} / m\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} / mn\mathbb{Z} }[/math].
Этот факт является вариантом китайской теоремой об остатках.
Прямое произведение можно рассмотреть как операцию на группах. Эта операция коммутативна и ассоциативна с точностью до изоморфизма: [math]\displaystyle{ G \times H \cong H \times G }[/math] и [math]\displaystyle{ (G \times H) \times K \cong G \times (H \times K) }[/math] для любых групп [math]\displaystyle{ G }[/math], [math]\displaystyle{ H }[/math], и [math]\displaystyle{ K }[/math]. Тривиальная группа является её единичным элементом с точностью до изоморфизма, то есть, если [math]\displaystyle{ E }[/math] — тривиальная группа, то [math]\displaystyle{ G \cong G \times E \cong E \times G }[/math] для любой группы [math]\displaystyle{ G }[/math].

Алгебраическая структура

Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] — группы, а [math]\displaystyle{ P = G \times H }[/math]. Рассмотрим следующие два подмножества [math]\displaystyle{ P }[/math]:

[math]\displaystyle{ G^\prime=\{(g,1) :g \in G\} }[/math] и [math]\displaystyle{ H^\prime=\{(1,h) :h \in H\} }[/math].

Оба эти подмножества являются подгруппами [math]\displaystyle{ P }[/math], при этом [math]\displaystyle{ G^\prime }[/math] канонически изоморфна [math]\displaystyle{ G }[/math], а [math]\displaystyle{ H^\prime }[/math] канонически изоморфна [math]\displaystyle{ H }[/math]. Если мы отождествим их с [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] соответственно, то мы сможем считать, что прямое произведение [math]\displaystyle{ P }[/math] содержит исходные группы [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] в качестве подгрупп.

Указанные подгруппы обладают следующими тремя важными свойствами:

Пересечение [math]\displaystyle{ G \cap H }[/math] тривиально.
Каждый элемент из [math]\displaystyle{ P }[/math] можно однозначно представить как произведение элемента из [math]\displaystyle{ G }[/math] и элемента из [math]\displaystyle{ H }[/math].
Каждый элемент из [math]\displaystyle{ G }[/math] коммутирует с каждым элементом из [math]\displaystyle{ H }[/math].

Вместе эти три свойства полностью определяют алгебраическую структуру прямого произведения [math]\displaystyle{ P }[/math]. Иными словами, если [math]\displaystyle{ P }[/math] — любая группа, имеющая подгруппы [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math], удовлетворяющие вышеуказанным свойствам, то [math]\displaystyle{ P }[/math] изоморфна прямому произведению [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math]. В этой ситуации [math]\displaystyle{ P }[/math] иногда называют внутренним прямым произведением её подгрупп [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math].

В некоторых случаях третье из приведённых свойств заменяется следующим:

3′. [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] нормальны в [math]\displaystyle{ P }[/math].

Это свойство эквивалентно свойству 3, поскольку элементы двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением обязательно коммутируют, что можно доказать, рассматривая коммутатор [math]\displaystyle{ [g,h] }[/math], где [math]\displaystyle{ g }[/math] — любой элемент в [math]\displaystyle{ G }[/math], а [math]\displaystyle{ h }[/math] — любой элемент в [math]\displaystyle{ H }[/math].

Примеры внутреннего прямого произведения

Пусть [math]\displaystyle{ V }[/math] — четверная группа Клейна:

V
∙	1	a	b	c
1	1	a	b	c
a	a	1	c	b
b	b	c	1	a
c	c	b	a	1

Тогда [math]\displaystyle{ V }[/math] — внутреннее прямое произведение двухэлементных подгрупп [math]\displaystyle{ \{1, a\} }[/math] и [math]\displaystyle{ \{1, b\} }[/math].

Пусть [math]\displaystyle{ \langle a \rangle }[/math] — циклическая группа порядка [math]\displaystyle{ mn }[/math], где [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math] — взаимно простые числа. Тогда [math]\displaystyle{ \langle a^n \rangle }[/math] и [math]\displaystyle{ \langle a^m \rangle }[/math] — циклические подгруппы порядков [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math] соответственно, и [math]\displaystyle{ \langle a \rangle }[/math] является внутренним прямым произведением этих подгрупп.
Пусть [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^{\times} }[/math] — группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения. Тогда [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^{\times} }[/math] является внутренним прямым произведением круговой группы^[англ.] [math]\displaystyle{ \mathbb{T} }[/math], состоящей из комплексных чисел с модулем [math]\displaystyle{ 1 }[/math], и группы [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{+} }[/math] положительных вещественных чисел с операцией умножения.
Комплексная полная линейная группа [math]\displaystyle{ GL(n, \mathbb{C}) }[/math] — внутреннее прямое произведение специальной линейной группы [math]\displaystyle{ SL(n, \mathbb{C}) }[/math] и подгруппы, состоящей из всех скалярных матриц.
Если [math]\displaystyle{ n }[/math] — нечётное число, то вещественная полная линейная группа [math]\displaystyle{ GL(n, \mathbb{R}) }[/math] — внутреннее прямое произведение специальной линейной группы [math]\displaystyle{ SL(n, \mathbb{R}) }[/math] и подгруппы, состоящей из всех скалярных матриц.
Аналогично, когда [math]\displaystyle{ n }[/math] нечётно, ортогональная группа [math]\displaystyle{ O(n, \mathbb{R}) }[/math] является внутренним прямым произведением специальной ортогональной группы [math]\displaystyle{ SO(n, \mathbb{R}) }[/math] и двухэлементной подгруппы [math]\displaystyle{ \{-I,I\} }[/math], где [math]\displaystyle{ I }[/math] обозначает единичную матрицу.
Группа симметрии куба — внутреннее прямое произведение подгруппы вращений куба и двухэлементной группы [math]\displaystyle{ \{-I,I\} }[/math], где [math]\displaystyle{ I }[/math] — единичный элемент, а [math]\displaystyle{ -I }[/math] — точечное отражение через центр куба. Аналогичный факт справедлив и для группы симметрии икосаэдра.
Пусть [math]\displaystyle{ n }[/math] нечётно, и пусть [math]\displaystyle{ D_{4n} }[/math] — диэдральная группа порядка [math]\displaystyle{ 4n }[/math]:
[math]\displaystyle{ D_{4n} = \langle r, s \mid r^{2n} = s^2 = 1, sr = r^{-1}s \rangle. }[/math]
Тогда [math]\displaystyle{ D_{4n} }[/math] является внутренним прямым произведением подгруппы [math]\displaystyle{ \langle r^2, s \rangle }[/math] (которая изоморфна [math]\displaystyle{ D_{2n} }[/math]) и двухэлементной подгруппы [math]\displaystyle{ \{1, r^n\} }[/math].

Копредставления прямого произведения

Алгебраическая структура [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] может быть использована для копредставления прямого произведения с помощью копредставлений [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math]. В частности, предположим, что

[math]\displaystyle{ G = \langle S_G \mid R_G \rangle \ \ }[/math] и [math]\displaystyle{ \ \ H = \langle S_H \mid R_H \rangle, }[/math]

где [math]\displaystyle{ S_G }[/math] и [math]\displaystyle{ S_H }[/math] — (непересекающиеся) порождающие множества группы, а [math]\displaystyle{ R_G }[/math] и [math]\displaystyle{ R_H }[/math] — множества соотношений между порождающими. Тогда

[math]\displaystyle{ G \times H = \langle S_G \cup S_H \mid R_G \cup R_H \cup R_P \rangle }[/math]

где [math]\displaystyle{ R_P }[/math] — множество соотношений, определяющих, что каждый элемент в [math]\displaystyle{ S_G }[/math] коммутирует с каждым элементом в [math]\displaystyle{ S_H }[/math].

Например, если

[math]\displaystyle{ G = \langle a \mid a^3=1 \rangle \ \ }[/math] и [math]\displaystyle{ \ \ H = \langle b \mid b^5=1 \rangle }[/math]

то

[math]\displaystyle{ G \times H = \langle a, b \mid a^3 = 1, b^5 = 1, ab=ba \rangle. }[/math]

Нормальная структура

Как было упомянуто выше, подгруппы [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] нормальны в [math]\displaystyle{ G \times H }[/math]. В частности, можно определить функции [math]\displaystyle{ \pi_G : G \times H \rightarrow G }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi_H : G \times H \rightarrow H }[/math] формулами

[math]\displaystyle{ \pi_G(g, h)=g ~ }[/math] и [math]\displaystyle{ ~ \pi_H(g, h)=h }[/math].

Тогда [math]\displaystyle{ \pi_G }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi_H }[/math] являются гомоморфизмами проекции с ядрами [math]\displaystyle{ H }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math] соответственно.

Из этого следует, что [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] — расширение [math]\displaystyle{ G }[/math] при помощи [math]\displaystyle{ H }[/math] (или наоборот). В случае, когда [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] — конечная группа, композиционные факторы^[англ.] группы [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] являются в точности объединением композиционных факторов группы [math]\displaystyle{ G }[/math] и композиционных факторов группы [math]\displaystyle{ H }[/math].

Дополнительные свойства

Универсальное свойство

Прямое произведение [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] может быть охарактеризовано следующим универсальным свойством. Пусть [math]\displaystyle{ \pi_G: G \times H \rightarrow G }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi_H: G \times H \rightarrow H }[/math] — гомоморфизмы проекции. Тогда для любой группы [math]\displaystyle{ P }[/math] и любых гомоморфизмов [math]\displaystyle{ f_G:P \rightarrow G }[/math] и [math]\displaystyle{ f_H:P \rightarrow H }[/math] существует единственный гомоморфизм [math]\displaystyle{ f:P \rightarrow G \times H }[/math], соответствующий следующей коммутативной диаграмме:

Иными словами, гомоморфизм [math]\displaystyle{ f }[/math] задаётся формулой

[math]\displaystyle{ f(p) = (f_G(p), f_H(p)) }[/math].

Это частный случай универсального свойства для произведений в теории категорий.

Подгруппы

Если [math]\displaystyle{ A }[/math] — подгруппа [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] — подгруппа [math]\displaystyle{ H }[/math], то прямое произведение [math]\displaystyle{ A \times B }[/math] является подгруппой [math]\displaystyle{ G \times H }[/math]. Например, изоморфной копией [math]\displaystyle{ G }[/math] в [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] является произведение [math]\displaystyle{ G \times \{1\} }[/math], где [math]\displaystyle{ \{1\} }[/math] — тривиальная подгруппа [math]\displaystyle{ H }[/math].

Если [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] нормальны, то [math]\displaystyle{ A \times B }[/math] — нормальная подгруппа в [math]\displaystyle{ G \times H }[/math]. Более того, факторгруппа прямых произведений изоморфна прямому произведению частных:

[math]\displaystyle{ (G \times H) / (A \times B) \cong (G / A) \times (H / B) }[/math].

Обратите внимание, что, вообще говоря, неверно, что каждая подгруппа из [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] является произведением подгруппы из [math]\displaystyle{ G }[/math] на подгруппу из [math]\displaystyle{ H }[/math]. Например, если [math]\displaystyle{ G }[/math] — любая нетривиальная группа, то произведение [math]\displaystyle{ G \times G }[/math] имеет диагональную подгруппу^[англ.]

[math]\displaystyle{ \triangle = \{(g, g) : g \in G \} }[/math]

которая не является прямым произведением двух подгрупп [math]\displaystyle{ G }[/math].

Подгруппы прямых произведений описываются леммой Гурса́^[англ.].

Сопряжённость и централизаторы

Два элемента [math]\displaystyle{ (g_1, h_1) }[/math] и [math]\displaystyle{ (g_2, h_2) }[/math] сопряжены в [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ g_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ g_2 }[/math] сопряжены в [math]\displaystyle{ G }[/math] и одновременно [math]\displaystyle{ h_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ h_2 }[/math] сопряжены в [math]\displaystyle{ H }[/math]. Отсюда следует, что каждый класс сопряжённости в [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] является декартовым произведением класса сопряжённости в [math]\displaystyle{ G }[/math] и класса сопряжённости в [math]\displaystyle{ H }[/math].

Аналогично, если [math]\displaystyle{ (g, h) \in G \times H }[/math], то централизатор [math]\displaystyle{ (g, h) }[/math] является произведением централизаторов [math]\displaystyle{ g }[/math] и [math]\displaystyle{ h }[/math]:

[math]\displaystyle{ C_{G \times H}(g, h) = C_G(g) \times C_H(h) }[/math].

Также центр [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] является произведением центров [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math]:

[math]\displaystyle{ Z(G \times H) = Z(G) \times Z(H) }[/math].

Нормализаторы ведут себя более сложным образом, поскольку не все подгруппы прямых произведений сами разлагаются на прямые произведения.

Автоморфизмы и эндоморфизмы

Если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — автоморфизм [math]\displaystyle{ G }[/math], а [math]\displaystyle{ \beta }[/math] — автоморфизм [math]\displaystyle{ H }[/math], то произведение функций [math]\displaystyle{ \alpha \times \beta : G \times H \rightarrow G \times H }[/math], определяемое формулой

[math]\displaystyle{ (\alpha \times \beta)(g, h)=(\alpha(g), \beta(h)) }[/math]

является автоморфизмом [math]\displaystyle{ G \times H }[/math]. Из этого следует, что [math]\displaystyle{ \operatorname{Aut}(G \times H) }[/math] содержит в себе подгруппу, изоморфную прямому произведению [math]\displaystyle{ \operatorname{Aut}(G) \times \operatorname{Aut}(H) }[/math].

В общем случае неверно, что каждый автоморфизм [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] имеет вышеуказанный вид. Например, если [math]\displaystyle{ G }[/math] — любая группа, то тогда существует автоморфизм [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] группы [math]\displaystyle{ G \times G }[/math], который меняет местами два множителя, то есть

[math]\displaystyle{ \sigma(g_1,g_2)=(g_2,g_1) }[/math].

Другой пример: группой автоморфизмов группы [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} }[/math] является [math]\displaystyle{ GL(2, \mathbb{Z}) }[/math] — группа всех матриц размера [math]\displaystyle{ 2 \times 2 }[/math] с целочисленными значениями и определителем, равным [math]\displaystyle{ \pm 1 }[/math]. Эта группа автоморфизмов бесконечна, но лишь конечное число автоморфизмов задаются как [math]\displaystyle{ \alpha \times \beta }[/math].

В общем случае, каждый эндоморфизм [math]\displaystyle{ G \times H }[/math] можно записать в виде матрицы размера [math]\displaystyle{ 2 \times 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta\end{bmatrix} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — эндоморфизм [math]\displaystyle{ G }[/math], [math]\displaystyle{ \delta }[/math] — эндоморфизм [math]\displaystyle{ H }[/math], а [math]\displaystyle{ \beta: H \rightarrow G }[/math] и [math]\displaystyle{ \gamma: G \rightarrow H }[/math] — гомоморфизмы. Эта матрица должна иметь свойство, что каждый элемент образа [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] коммутирует с каждым элементом образа [math]\displaystyle{ \beta }[/math], а каждый элемент образа [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] коммутирует с каждым элементом образа [math]\displaystyle{ \delta }[/math].

Когда [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] — неразложимые группы с тривиальными центрами, то группа автоморфизмов прямого произведения относительно проста: [math]\displaystyle{ \operatorname{Aut}(G) \times \operatorname{Aut}(H) }[/math], если [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] не изоморфны, и [math]\displaystyle{ \operatorname{Aut}(G) ~ wr ~ 2 }[/math], если [math]\displaystyle{ G \cong H }[/math], где [math]\displaystyle{ wr }[/math] обозначает сплетение^[англ.]. Это часть теоремы Крулля—Шмидта^[англ.], в более общем случае она справедлива для конечных прямых произведений.

Обобщения

Конечные прямые произведения

Можно взять прямое произведение более, чем двух групп одновременно. Для конечной последовательности групп [math]\displaystyle{ G_1,...,G_n }[/math] прямое произведение

[math]\displaystyle{ \prod_{i=1}^n G_i \;=\; G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n }[/math]

определяется следующим образом:

Элементами [math]\displaystyle{ G_1 \times \cdots \times G_n }[/math] являются кортежи [math]\displaystyle{ (g_1,...,g_n) }[/math], где [math]\displaystyle{ g_i \in G_i }[/math] для любого [math]\displaystyle{ i }[/math].
Операция на [math]\displaystyle{ G_1 \times \cdots \times G_n }[/math] определяется покомпонентно:
[math]\displaystyle{ (g_1,...,g_n)(g'_1,...,g'_n)=(g_1 g'_1,...,g_n g'_n) }[/math].

Оно обладает множеством свойств, которыми обладает прямое произведение двух групп, и может быть алгебраически охарактеризовано аналогичным образом.

Бесконечные прямые произведения

Также можно взять прямое произведение бесконечного числа групп. Для бесконечной последовательности групп [math]\displaystyle{ G_1, G_2, ... }[/math] это можно определить точно так же, как для конечного прямого произведения, с элементами бесконечного прямого произведения, являющимися бесконечными кортежами.

В более общем смысле, для индексированного семейства групп [math]\displaystyle{ \{ G_i \}_{i \in I} }[/math] прямое произведение [math]\displaystyle{ \Pi_{i \in I} G_i }[/math] определяется следующим образом:

Элементы [math]\displaystyle{ \Pi_{i \in I} G_i }[/math] — это элементы бесконечного декартова произведения множеств [math]\displaystyle{ G_i }[/math]; т. е. элементы бесконечного декартова произведения можно понимать как функции [math]\displaystyle{ f: I \rightarrow \bigcup_{i \in I} G_i }[/math] с таким свойством, что [math]\displaystyle{ f(i) \in G_i }[/math] для любого [math]\displaystyle{ i }[/math].
Произведение двух элементов [math]\displaystyle{ f, g }[/math] определяется покомпонентно:
[math]\displaystyle{ (f \cdot g)(i) = f(i) \cdot g(i) }[/math].

В отличие от конечного прямого произведения, бесконечное прямое произведение [math]\displaystyle{ \Pi_{i \in I} G_i }[/math] не порождается элементами изоморфных подгрупп [math]\displaystyle{ \{ G_i \}_{i \in I} }[/math]. Вместо этого эти подгруппы порождают подгруппу прямого произведения, известную как бесконечная прямая сумма, которая состоит из всех элементов, имеющих лишь конечное число неединичных компонентов.

Другие произведения

Полупрямые произведения

Напомним, что группа [math]\displaystyle{ P }[/math] с подгруппами [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] изоморфна прямому произведению [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math], если она удовлетворяет следующим трем условиям:

Пересечение [math]\displaystyle{ G \cap H }[/math] является тривиальной группой.
Каждый элемент из [math]\displaystyle{ P }[/math] можно однозначно представить как произведение элемента из [math]\displaystyle{ G }[/math] и элемента из [math]\displaystyle{ H }[/math].
И [math]\displaystyle{ G }[/math], и [math]\displaystyle{ H }[/math] являются нормальными в [math]\displaystyle{ P }[/math].

Полупрямое произведение [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] получается ослаблением третьего условия, так что только одна из двух подгрупп [math]\displaystyle{ G }[/math], [math]\displaystyle{ H }[/math] должна быть нормальной. Полученное произведение по-прежнему состоит из упорядоченных пар [math]\displaystyle{ (g, h) }[/math], но с немного более сложным правилом умножения.

Также можно полностью ослабить третье условие, не требуя ни от одной из подгрупп нормальности. В этом случае группа [math]\displaystyle{ P }[/math] называется произведением Заппы—Сепа^[англ.] групп [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math].

Свободные произведения

Свободное произведение групп [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math], обычно обозначаемое как [math]\displaystyle{ G * H }[/math], похоже на прямое произведение, за исключением того, что подгруппы [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] группы [math]\displaystyle{ G * H }[/math] не обязаны коммутировать. А именно, если

[math]\displaystyle{ G = \langle ~ S_G ~|~ R_G ~ \rangle }[/math] и [math]\displaystyle{ H = \langle ~ S_H ~|~ R_H ~ \rangle }[/math],

являются копредставлениями [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math], то

[math]\displaystyle{ G * H = \langle ~ S_G \cup S_H ~|~ R_G \cup R_H ~ \rangle }[/math].

В отличие от прямого произведения, элементы свободного произведения не могут быть представлены упорядоченными парами. К тому же свободное произведение любых двух нетривиальных групп бесконечно. Свободное произведение, как ни странно, является копроизведением в категории групп.

Подпрямые произведения

Если [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] — группы, то подпрямым произведением [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] является любая подгруппа [math]\displaystyle{ G \times H }[/math], которая отображается сюръективно в [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] под действием гомоморфизмов проекции. Согласно лемме Гурса^[англ.], каждое подпрямое произведение является расслоённым.

Расслоённые произведения

Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math], [math]\displaystyle{ H }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math] — группы, и пусть [math]\displaystyle{ \varphi : G \rightarrow Q }[/math] и [math]\displaystyle{ \chi : H \rightarrow Q }[/math] — гомоморфизмы. Расслоённое произведение [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] над [math]\displaystyle{ Q }[/math] представляет собой следующую подгруппу [math]\displaystyle{ G \times H }[/math]:

[math]\displaystyle{ G \times_Q H = \{(g, h) \in G \times H : \varphi (g) = \chi (h) \} }[/math].

Если [math]\displaystyle{ \varphi : G \rightarrow Q }[/math] и [math]\displaystyle{ \chi : H \rightarrow Q }[/math] — эпиморфизмы, то это подпрямое произведение.

Примечания

↑ Джозеф Галлиан. Современная абстрактная алгебра. — 7-е изд.. — Cengage Learning, 2010. — 157 с. — ISBN 9780547165097.

Литература

Майкл Артин. Алгебра. — Prentice Hall, 1991. — ISBN 978-0-89871-510-1.
Израиль Натан Херштейн. Абстрактная алгебра. — 3-е изд. — Сэддл Ривер, Нью Джерси: Prentice Hall Inc., 1996. — ISBN 978-0-13-374562-7.
Израиль Натан Херштейн. Topics in algebra. — 2-е изд. — Лексингтон, Массачусетс: Xerox College Publishing, 1975.
Серж Ленг. Алгебра. — исправленное 3-е изд. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 978-0-387-95385-4.
Серж Ленг. Undergraduate algebra. — 3-е изд. — Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2005. — ISBN 978-0-387-22025-3.
Дерек Джон Скотт Робинсон. Курс теории групп. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996. — ISBN 978-0-387-94461-6.

[1] Джозеф Галлиан. Современная абстрактная алгебра. — 7-е изд.. — Cengage Learning, 2010. — 157 с. — ISBN 9780547165097.

[1]