Группа Конвея Co₁

Группа Конвея Co₁ — это спорадическая простая группа порядка

[math]\displaystyle{ 2^{21}{\cdot}3^9{\cdot}5^4{\cdot}7^2{\cdot}11{\cdot}13{\cdot}23 }[/math]

= 4157776806543360000

≈ 4⋅10¹⁸.

История и свойства

Co₁ является одной из 26 спорадических групп и была открыта Джоном Хортоном Конвеем в 1968. Группа является самой большой из трёх спорадических групп Конвея и может быть получена как факторгруппа Co₀ (группа автоморфизмов решётки Лича [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math], сохраняющих начало координат) по её центру, который состоит из скалярных матриц ±1^[1]. Группа также возникает на вершине группы автоморфизмов чётной 26-мерной унимодулярной решётки II_25,1^[en]. Некоторые, не совсем понятные, комментарии в коллекции работ Витта позволяют полагать, что он нашёл решётку Лича и, возможно, порядок её группы автоморфизмов в неопубликованной работе 1940 года.

Группа внешних автоморфизмов^[en]группы Co₁ тривиальна, а мультипликатор Шура имеет порядок 2.

Инволюции

Co₀ имеет 4 класса смежности инволюций. Они стягиваются к 2 в Co₁, но есть 4-элементы в Co₀, которые соответствуют третьему классу инволюций в Co₁.

Образ 12-элементных множеств (додекады) имеет централизатор типа 2¹¹:M₁₂:2, который содержится в максимальной подгруппе типа 2¹¹:M₂₄.

Образ октад или 16-элементных множеств имеет централизатор вида 2¹⁺⁸.O₈⁺(2), максимальная подгруппа.

Представления

Наименьшее точное перестановочное представление группы Co₁ состоит из 98280 пар {v,–v} векторов с нормой 4.

Централизатор инволюции типа 2B в монстре имеет вид [math]\displaystyle{ 2^{1+24}\mathrm{Co}_1 }[/math].

Диаграмма Дынкина чётной Лоренцевой унимодулярной решётки II_1,25^[en] изометрична (аффинной) решётке Лича [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math], так что группа авоморфизмов диаграммы является расщепляемым расширением [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math],Co₀ аффинных изометрий решётки Лича.

Максимальные подгруппы

Уилсон^[2] нашёл 22 смежных классов максимальных подгрупп группы Co₁, хотя в его изначальном списке имеется несколько ошибок, которые он исправил позже^[3].

Co₂^[en]
3.Suz:2 Подъём до [math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}(\Lambda) }[/math] фиксирует комплексную структуру или изменяет её в сопряжённую структуру. Вершина башни Судзуки.
2¹¹:M₂₄ Подъём до [math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}(\Lambda) }[/math] фиксирует каркас векторов^[4]. Образ мономиальной подгруппы^[5] группы [math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}(\Lambda) }[/math]
Co₃^[en]
[math]\displaystyle{ 2^{1+8}.\mathrm{O}_8^+(2) }[/math] централизатор инволюции (образ октад из [math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}(\Lambda) }[/math])
[math]\displaystyle{ \mathrm{U}_6(2):\mathrm{S}_3 }[/math]
[math]\displaystyle{ (\mathrm{A}_4 \times \mathrm{G}_2(4)):2 }[/math] в цепочке Судзуки^[en]^[6].
[math]\displaystyle{ 2^{2+12}:(\mathrm{A}_8 \times \mathrm{S}_3) }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^{4+12}.(\mathrm{S}_3 \times 3. \mathrm{S}_6) }[/math]
[math]\displaystyle{ 3^2. \mathrm{U}_4(3).\mathrm{D}_8 }[/math]
3⁶:2.M₁₂ (голоморф троичного кода Голея)
(A₅ × J₂):2 в цепочке Судзуки
[math]\displaystyle{ 3^{1+4}:2.\mathrm{PSp}_4(3).2 }[/math]
[math]\displaystyle{ (\mathrm{A}_6 \times \mathrm{U}_3(3)).2 }[/math] в цепочке Судзуки
[math]\displaystyle{ 3^{3+4}:2.(\mathrm{S}_4 \times \mathrm{S}_4) }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathrm{A}_9 \times \mathrm{S}_3 }[/math] в цепочке Судзуки
[math]\displaystyle{ (\mathrm{A}_7 \times \mathrm{L}_2(7)):2 }[/math] в цепочке Судзуки
[math]\displaystyle{ (\mathrm{D}_{10} \times (\mathrm{A}_5 \times \mathrm{A}_5).2).2 }[/math]
[math]\displaystyle{ 5^{1+2}:\mathrm{GL}_2(5) }[/math]
[math]\displaystyle{ 5^3:(4 \times \mathrm{A}_5).2 }[/math]
[math]\displaystyle{ 7^2:(3 \times 2.\mathrm{S}_4) }[/math]
[math]\displaystyle{ 5^2:2\mathrm{A}_5 }[/math]

Примечания

↑ Диагональная матрица, все элементы которой равны
↑ Wilson, 1983.
↑ Wilson, 1988.
↑ Векторы длины 8 в решётке Лича распадаются на 48 пар взаимно перпендикулярных векторов, которые называются координатными парами (Wilson 2009).
↑ Конечная группа G называется мономиальной или [math]\displaystyle{ \mathcal{M} }[/math]-группой, если все её неприводимые характеры индуцируются линейными характерами подгрупп группы G (Фёдоров 2007).
↑ Цепочка Судзуки или башня Судзуки — это следующие группы перестановок ранга 3:[math]\displaystyle{ G_2(2) =U(3,3) \cdot 2, J_2 \cdot 2, G_2(4), \mathrm{Suz} \cdot 2 }[/math].

Литература

John Horton Conway. A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — 1968. — Т. 61, вып. 2. — С. 398–400. — doi:10.1073/pnas.61.2.398.
Theory of finite groups: A symposium / Brauer R., Chih-han Sah. — W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.
John Horton Conway. A group of order 8,315,553,613,086,720,000 // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1969. — Т. 1. — С. 79–88. — ISSN 0024-6093. — doi:10.1112/blms/1.1.79.
John Horton Conway. Three lectures on exceptional groups // Finite simple groups / Powell M. B., Graham Higman. — Boston, MA: Academic Press, 1971. — С. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969.). — ISBN 978-0-12-563850-0. Перепечатано в Conway, Sloane, 1999, 267-298
John Horton Conway, Neil J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999. — Т. 290. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). — ISBN 978-0-387-98585-5.
Thomas M. Thompson. From error-correcting codes through sphere packings to simple groups. — Mathematical Association of America, 1983. — Т. 21. — (Carus Mathematical Monographs). — ISBN 978-0-88385-023-7.
John Horton Conway, Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis R. T., Robert A. Wilson. Atlas of finite groups. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 978-0-19-853199-9.
Robert L. Jr. Griess. Twelve sporadic groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-62778-4.
Robert A. Wilson. The maximal subgroups of Conway's group Co₁ // Journal of Algebra. — 1983. — Т. 85, вып. 1. — С. 144–165. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(83)90122-9.
Robert A. Wilson. On the 3-local subgroups of Conway's group Co₁ // Journal of Algebra. — 1988. — Т. 113, вып. 1. — С. 261–262. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(88)90192-5.
Robert A. Wilson. The finite simple groups.. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2009. — (Graduate Texts in Mathematics 251). — ISBN 978-1-84800-987-5. — doi:10.1007/978-1-84800-988-2.
Фёдоров С. Н. Мономиальность конечных групп с некоторыми условиями на классы сопряжённых элементов // Фундамент. и прикл. матем.. — 2007. — Т. 13, вып. 5. — С. 201–212.

Ссылки

MathWorld: Conway Groups Архивная копия от 29 октября 2017 на Wayback Machine
Atlas of Finite Group Representations: Co₁ version 2
Atlas of Finite Group Representations: Co₁ Архивная копия от 27 марта 2008 на Wayback Machine version 3

[1] Диагональная матрица, все элементы которой равны

[_a604e6cff434648c-2] Wilson, 1983.

[_ea6d7f4e7ad545eb-3] Wilson, 1988.

[4] Векторы длины 8 в решётке Лича распадаются на 48 пар взаимно перпендикулярных векторов, которые называются координатными парами (Wilson 2009).

[5] Конечная группа G называется мономиальной или [math]\displaystyle{ \mathcal{M} }[/math]-группой, если все её неприводимые характеры индуцируются линейными характерами подгрупп группы G (Фёдоров 2007).

[6] Цепочка Судзуки или башня Судзуки — это следующие группы перестановок ранга 3:[math]\displaystyle{ G_2(2) =U(3,3) \cdot 2, J_2 \cdot 2, G_2(4), \mathrm{Suz} \cdot 2 }[/math].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Теория групп
Основные понятия	Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа Произведение Прямое Полупрямое Свободное
Алгебраические свойства	Коммутативная группа Циклическая группа Упорядоченная группа Группа преобразований Разрешимая группа Лемма Шрайера Теорема Лагранжа Теоремы Силова Классификация простых конечных групп
Конечные группы	Конечная циклическая группа C_n Симметрическая группа S_n Диэдрическая группа D_n Знакопеременная группа A_n Четверная группа Клейна Группы Матьё M₁₁ M₁₂ M₂₂ M₂₃ M₂₄ Группы Конвея Co₁ Co₂ Co₃ Группы Янко J₁ J₂ J₃ J₄ Группы Фишера F₂₂ F₂₃ F₂₄ Монстр (М)
Топологические группы	Группы Ли Ортогональная группа O(n) Специальная ортогональная группа SO(n) Унитарная группа U(n) Специальная унитарная группа SU(n) Симплектическая группа Sp(n) Исключительные простые Группа Лоренца Группа Пуанкаре
Алгоритмы на группах	Шрайера — Симса Тодда — Коксетера преобразование Фурье