Порождающее множество группы
Порождающее множество группы [math]\displaystyle{ G }[/math] (или множество образующих[1], или система образующих) — это подмножество [math]\displaystyle{ S }[/math] в [math]\displaystyle{ G }[/math], такое, что каждый элемент [math]\displaystyle{ G }[/math] может быть записан как произведение конечного числа элементов [math]\displaystyle{ S }[/math] и их обратных.
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ S }[/math] — подмножество группы [math]\displaystyle{ G }[/math]. Определим [math]\displaystyle{ \langle S\rangle }[/math] — подгруппу, порождённую [math]\displaystyle{ S }[/math], — как наименьшую подгруппу в [math]\displaystyle{ G }[/math], содержащую все элементы [math]\displaystyle{ S }[/math], то есть пересечение всех подгрупп, содержащих [math]\displaystyle{ S }[/math]. Эквивалентно, [math]\displaystyle{ \langle S\rangle }[/math] — это подгруппа всех элементов [math]\displaystyle{ G }[/math], которые могут быть представлены как конечные произведения элементов [math]\displaystyle{ S }[/math] и их обратных.
Если [math]\displaystyle{ G=\langle S\rangle }[/math], то говорят, что [math]\displaystyle{ S }[/math] порождает группу [math]\displaystyle{ G }[/math]. При этом элементы [math]\displaystyle{ S }[/math] называются образующими группы. Если в группе [math]\displaystyle{ G }[/math] можно выбрать конечное множество образующих, то её называют конечно порождённой группой.
Замечания
- Заметим, что если [math]\displaystyle{ S }[/math] пусто, то по определению [math]\displaystyle{ \langle S\rangle }[/math] является тривиальной группой, состоящей из нейтрального элемента.
- Когда [math]\displaystyle{ S }[/math] содержит только один элемент [math]\displaystyle{ x }[/math], обычно пишут [math]\displaystyle{ \langle x\rangle }[/math] вместо [math]\displaystyle{ \langle \{x\}\rangle }[/math]. В таком случае [math]\displaystyle{ \langle x\rangle }[/math] — циклическая подгруппа степеней [math]\displaystyle{ x }[/math] в [math]\displaystyle{ G }[/math].
Порождающие полугруппы и моноида
Для случая, когда [math]\displaystyle{ G }[/math] является полугруппой или моноидом, тоже можно ввести аналогичное понятие порождающего множества: [math]\displaystyle{ S }[/math] порождает [math]\displaystyle{ G }[/math] как полугруппу или моноид, если [math]\displaystyle{ G }[/math] является минимальной полугруппой или минимальным моноидом соответственно, содержащим [math]\displaystyle{ S }[/math].
Такое определение тоже можно изложить на языке представимости элемента в виде комбинации. Для полугруппы можно сказать, что [math]\displaystyle{ S }[/math] является порождающим множеством, если каждый элемент [math]\displaystyle{ G }[/math] можно представить как конечное произведение элементов из [math]\displaystyle{ S }[/math]. Для моноида можно сказать, что [math]\displaystyle{ S }[/math] является порождающим множеством, если каждый элемент [math]\displaystyle{ G }[/math], кроме нейтрального, можно представить как конечное произведение элементов из [math]\displaystyle{ S }[/math].
Из-за разницы определений одно и то же множество может быть порождающим в одном смысле, но не быть в другом. Например, для моноида неотрицательных целых чисел [math]\displaystyle{ (\mathbb{N}_{\geq 0},+) }[/math] порождающим множеством будет [math]\displaystyle{ S=\{1\} }[/math], но для полугруппы [math]\displaystyle{ (\mathbb{N}_{\geq 0},+) }[/math] [math]\displaystyle{ S }[/math] уже не является порождающим множеством, так как 0 нельзя представить в виде суммы единиц. Аналогично, для [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] как группы [math]\displaystyle{ \{1\} }[/math] является порождающим множеством, а для моноида — нет, так как в определении порождающего множества для моноида не включено взятие обратных.
См. также
Примечания
- ↑ Ленг, 1968, с. 23.
Литература
- Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
- Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967. — 648 с.