Свободная группа

Граф Кэли свободной группы образованной двумя элементами a и b

Свобо́дная гру́ппа в теории групп — группа [math]\displaystyle{ G }[/math], для которой существует подмножество [math]\displaystyle{ S \subset G }[/math] такое, что каждый элемент [math]\displaystyle{ G }[/math] записывается единственным образом как произведение конечного числа элементов [math]\displaystyle{ S }[/math] и их обратных. (Единственность понимается с точностью до тривиальных комбинаций наподобие [math]\displaystyle{ st=su^{-1}ut }[/math].) Говорят, что [math]\displaystyle{ G }[/math] (свободно) порождена [math]\displaystyle{ S }[/math] и пишут: [math]\displaystyle{ F_S }[/math] или [math]\displaystyle{ F_n, }[/math] если [math]\displaystyle{ S }[/math] есть множество из [math]\displaystyle{ n }[/math] элементов.

Близкое, но отличное понятие: свободная абелева группа (которая не является, вообще говоря, свободной группой).

Конструктивное определение

Возможно предъявить явную конструкцию свободных групп, доказав тем самым их существование. Будем считать элементы множества [math]\displaystyle{ S }[/math] «символами» и для каждого символа [math]\displaystyle{ s }[/math] из [math]\displaystyle{ S }[/math] введём символ [math]\displaystyle{ s^{-1} }[/math]; множество последних обозначим [math]\displaystyle{ S^{-1} }[/math]. Пусть

[math]\displaystyle{ T = S \cup S^{-1} }[/math].

Определим слово над [math]\displaystyle{ S }[/math] как конечную цепочку (возможно, повторяющихся) символов из [math]\displaystyle{ T }[/math], записанных друг за другом. Вместе с операцией конкатенации (склейки, приписывания) множество слов над [math]\displaystyle{ S }[/math] становится полугруппой. Будем считать, что во множестве слов имеется пустое слово [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], которое не содержит символов. Таким образом получается моноид слов над [math]\displaystyle{ S. }[/math]

Например, для [math]\displaystyle{ S = \{a, b, c\} }[/math]. [math]\displaystyle{ T = \{a, a^{-1}, b, b^{-1}, c, c^{-1}\} }[/math], два слова:

[math]\displaystyle{ \alpha = abc^{-1}a, ~~ \beta = b^{-1}ba^{-1} }[/math],

и их конкатенация:

[math]\displaystyle{ \gamma = \alpha\beta = abc^{-1}ab^{-1}ba^{-1} }[/math].

Например, [math]\displaystyle{ \alpha\varepsilon = \alpha = abc^{-1}a }[/math].

Далее вводится правило редукции слов. Если в некотором слове за символом (символу) из [math]\displaystyle{ S }[/math] следует (предшествует) соответствующий ему символ из [math]\displaystyle{ S^{-1}, }[/math] то удаление этой пары символов назовём редукцией. Слово называется редуцированным, если в нём больше нельзя провести редукцию. Полной редукцией называется последовательное применение редукции к данном слову до тех пор, пока оно не станет редуцированным. Например, из слова [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] (см. пример выше) после полной редукции получается редуцированное слово: [math]\displaystyle{ abc^{-1}. }[/math] Это определение является корректным: легко показать, что разный порядок выполнения нескольких редукций до тех пор, пока они возможны, приводит к единственному результату.

Свободной группой [math]\displaystyle{ F_S }[/math], порождённой множеством [math]\displaystyle{ S }[/math] (или свободной группой над [math]\displaystyle{ S }[/math]) называется группа редуцированных слов над [math]\displaystyle{ S }[/math] с операцией конкатенации (за которой следует полная редукция результата при необходимости).

Свойства

• Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны. При этом мощность множества, порождающего данную свободную группу, называется её рангом.
• Свободная группа [math]\displaystyle{ F_n }[/math] изоморфна свободному произведению [math]\displaystyle{ n }[/math] копий [math]\displaystyle{ \Z }[/math].
• Теорема Нильсена — Шрайера: любая подгруппа свободной группы свободна.
• Любая группа [math]\displaystyle{ G }[/math] есть факторгруппа некоторой свободной группы [math]\displaystyle{ F_S }[/math] по некоторой её подгруппе H. За [math]\displaystyle{ S }[/math] могут быть взяты образующие [math]\displaystyle{ G }[/math]. Тогда существует естественный эпиморфизм [math]\displaystyle{ f:\;F_S \to G }[/math]. Ядро H этого эпиморфизма является множеством соотношений задания [math]\displaystyle{ G = \langle S, H \rangle }[/math].
• Коммутант свободной группы конечного ранга имеет бесконечный ранг. Например, коммутант порождённой двумя элементами свободной группы [math]\displaystyle{ F(a,b) }[/math] — это свободная группа, порождённая всеми коммутаторами [math]\displaystyle{ [a^n, b^m], \, m,n\ne 0 }[/math].

Универсальное свойство

Свободная группа [math]\displaystyle{ F_S }[/math] — это в некотором смысле наиболее общая группа, порождённая множеством [math]\displaystyle{ S. }[/math] А именно, для любой группы [math]\displaystyle{ G }[/math] и любого отображения множеств [math]\displaystyle{ f\colon S \to G }[/math] существует единственный гомоморфизм групп [math]\displaystyle{ \varphi\colon F_S \to G, }[/math] для которого следующая диаграмма коммутативна:

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множествами отображений [math]\displaystyle{ S \to G }[/math] и гомоморфизмов [math]\displaystyle{ F_S \to G }[/math]. Для несвободной группы соотношения в группе накладывали бы ограничения на возможные образы образующих элементов группы.

Это свойство можно принять за определение свободной группы, при этом она определена лишь с точностью до изоморфизма, как и любой универсальный объект. Это свойство называется универсальностью свободных групп. Порождающее множество [math]\displaystyle{ S }[/math] называется базисом группы [math]\displaystyle{ F_s }[/math]. Одна и та же свободная группа может иметь разные базисы.

С точки зрения теории категорий свободная группа — это функтор из категории множеств [math]\displaystyle{ \mathbf{Set} }[/math] в категорию групп [math]\displaystyle{ \mathbf{Grp} }[/math], являющийся левым сопряжённым для забывающего функтора [math]\displaystyle{ \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set} }[/math].

Литература

• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.