Ассоциативность (математика)

Визуализация ассоциативности [math]\displaystyle{ (x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z) }[/math]

Ассоциати́вность (сочетательность) — свойство бинарной операции [math]\displaystyle{ \circ }[/math], заключающееся в возможности осуществлять последовательное применение формулы [math]\displaystyle{ (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z) }[/math] в произвольном порядке к элементам [math]\displaystyle{ x,\;y,\;z }[/math].

Термин ввёл Уильям Гамильтон в 1853 году.

Поскольку для ассоциативных операций результат выражения [math]\displaystyle{ x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n }[/math] не зависит от порядка применения, скобки при записи опускаются. Для неассоциативной операции выражение [math]\displaystyle{ x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n }[/math] при [math]\displaystyle{ n\gt 2 }[/math] не определено без дополнительных соглашений о порядке применения.

Примеры ассоциативных операций:

• сложение действительных чисел: [math]\displaystyle{ ( a + b ) + c = a + ( b + c ) }[/math]
• умножение действительных чисел: [math]\displaystyle{ ( a \cdot b ) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c ) }[/math]
• композиция функций: [math]\displaystyle{ ( H \circ G ) \circ F = H \circ ( G \circ F ) }[/math]

Примером неассоциативной операции является возведение в степень — результат выражения [math]\displaystyle{ a^{b^{c}} }[/math] напрямую зависит от расстановки скобок, в общем случае [math]\displaystyle{ a^{(b^c)} \neq (a^b)^c }[/math].

Не всякая коммутативная операция ассоциативна — существуют коммутативные магмы с неассоциативной.

Ассоциативность играет важную роль в общей алгебре: в большинстве рассматриваемых структур бинарные операции ассоциативны (группы, кольца, поля, полурешётки и решётки). Теория полугрупп фактически исследует феномен ассоциативности общеалгебраическими методами. При этом особо рассматриваются и неассоциативные системы, а именно: квазигруппы, лупы, неассоциативные кольца, неассоциативные алгебры. Их изучение осложнено тем, что многие свойства ассоциативных систем для них не имеют места. Иногда проблемы переносимости свойств на неассоциативные структуры оказываются нетрививиальными (например, открыт вопрос о выполнении теоремы Лагранжа для конечных луп).

В информатике ассоциативность считается полезным свойством, в частности, позволяющим задействовать параллелизм для последовательных применений операции. В то же время многие практические операции (сложение и умножение при работе с числами с плавающей запятой) оказываются неассоциативными.

Свойство естественным образом обобщается на [math]\displaystyle{ n }[/math]-арный случай: операция [math]\displaystyle{ \varphi \colon X^n \to X }[/math] называется ассоциативной, если для всех [math]\displaystyle{ i = 1, \dots, n }[/math] имеет место тождество:

[math]\displaystyle{ \varphi(\varphi(x_1, \dots, x_n), x_{n+1}, \dots, x_{2n-1}) = \varphi (x_1, \dots, x_i, \varphi(x_{i+1}, x_{i+2}, \dots, x_{i+n}), x_{i+n+1}, \dots, x_{2n-1}) }[/math].

Ослабленные варианты свойства ассоциативности — степенная ассоциативность, альтернативность, эластичность — в них изменение очерёдности последовательного применения возможно только для ограниченного набора случаев.

Литература

• Ассоциативность — статья из Математической энциклопедии. О. А. Иванова, Д. М. Смирнов
• Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.