Топологическая группа

Топологи́ческая гру́ппа (непрерывная группа) — это группа, которая одновременно является топологическим пространством, причём умножение элементов группы G × G → G и операция взятия обратного элемента G → G являются непрерывными в используемой топологии.

Из приведённого определения непосредственно следует, что операции левого и правого сдвига, а также операция сопряжения, традиционно обозначаемые буквами l, r, a и определяемые равенствами

l_g(h) = gh,

r_g(h) = hg,

a_g(h) = ghg⁻¹,

представляют собой гомеоморфизмы пространства G на себя.

Изоморфизм топологической группы G на топологическую группу H — это биективное отображение группы G на H, которое одновременно является изоморфизмом структуры группы в G на структуру группы в H и гомеоморфизмом G на H.

Понятие топологической группы обобщает понятие группы Ли; последнее требует, чтобы операции умножения элементов и взятия обратного элемента были не только непрерывными, но аналитическими или голоморфными (при этом на группе вводится не только топология, но и структура аналитического или комплексного многообразия).

Примеры топологических групп

• Множество квадратных матриц одного порядка с ненулевыми детерминантами и действительными элементами образуют топологическую группу при задании операции обычного матричного умножения.
• Векторное пространство конечной размерности образует топологическую группу при задании операции сложения векторов.

См. также

• Локальная топологическая группа
• Мера Хаара
• Группа Ли

Литература

• Бурбаки Н.  Элементы математики. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука, 1968. — 272 с.
• Бурбаки Н.  Элементы математики. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. — М.: Наука, 1969. — 392 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.  Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — 780 с.
• Понтрягин Л. С.  Непрерывные группы. 3-е изд. — М.: Наука, 1973. — 527 с.
• McCarty G.  Topology: An Introduction with Application to Topological Groups. 2nd edition. — New York: Dover Publications, 1988. — 270 p. — ISBN 0-486-65633-0.

Ссылки

• Topological group (англ.)