Симметрическая группа
(таблица умножения матриц перестановок)
Имеются следующие позиции шести матриц:
Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества [math]\displaystyle{ X }[/math] (то есть биекций [math]\displaystyle{ X\to X }[/math]) относительно операции композиции.
Симметрическая группа множества [math]\displaystyle{ X }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ S(X) }[/math]. Если [math]\displaystyle{ X=\{1,2,...,n\} }[/math], то [math]\displaystyle{ S(X) }[/math] также обозначается через [math]\displaystyle{ S_n }[/math]. Поскольку для равномощных множеств ([math]\displaystyle{ |X|=|Y| }[/math]) изоморфны и их группы перестановок ([math]\displaystyle{ S(X)\cong S(Y) }[/math]), то для конечной группы порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] группу её перестановок отождествляют с [math]\displaystyle{ S_n }[/math].
Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка [math]\displaystyle{ \mathrm{id}(x)=x }[/math].
Группы перестановок
Хотя обычно группой перестановок (или подстановок) называют саму симметрическую группу, иногда, особенно в англоязычной литературе, группами перестановок множества [math]\displaystyle{ X }[/math] называют подгруппы симметрической группы [math]\displaystyle{ S(X) }[/math][1]. Степенью группы в таком случае называется мощность [math]\displaystyle{ X }[/math].
Каждая конечная группа [math]\displaystyle{ G }[/math] изоморфна некоторой подгруппе группы [math]\displaystyle{ S(G) }[/math] (теорема Кэли).
Свойства
Число элементов симметрической группы для конечного множества равно числу перестановок элементов, то есть факториалу мощности: [math]\displaystyle{ |S_n| = n! }[/math]. При [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] симметрическая группа [math]\displaystyle{ S_n }[/math] некоммутативна.
Симметрическая группа [math]\displaystyle{ S_n }[/math] допускает следующее задание:
- [math]\displaystyle{ \langle\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_{n-1}|\sigma_i^2,(\sigma_i\sigma_{i+1})^3,\sigma_i\sigma_{j}=\sigma_j\sigma_i\ \text{if}\ |i-j|\gt 1\rangle }[/math].
Можно считать, что [math]\displaystyle{ \sigma_i }[/math] переставляет [math]\displaystyle{ i }[/math] и [math]\displaystyle{ i+1 }[/math]. Максимальный порядок элементов группы [math]\displaystyle{ S_n }[/math] — функция Ландау.
Группы [math]\displaystyle{ S_1, S_2, S_3, S_4 }[/math] разрешимы, при [math]\displaystyle{ n \geqslant 5 }[/math] симметрическая группа [math]\displaystyle{ S_n }[/math] является неразрешимой.
Симметрическая группа является совершенной (то есть отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае [math]\displaystyle{ n=6 }[/math] группа [math]\displaystyle{ S_6 }[/math] имеет ещё один внешний автоморфизм . В силу этого и предыдущего свойства при [math]\displaystyle{ n \geqslant 3, n\neq 6 }[/math] все автоморфизмы [math]\displaystyle{ S_n }[/math] являются внутренними, то есть каждый автоморфизм [math]\displaystyle{ \alpha(x) }[/math] имеет вид [math]\displaystyle{ g^{-1}xg }[/math] для некоторого [math]\displaystyle{ g\in S_n }[/math].
Число классов сопряжённых элементов симметрической группы [math]\displaystyle{ S_n }[/math] равно числу разбиений числа [math]\displaystyle{ n }[/math][2]. Множество транспозиций [math]\displaystyle{ (12),(23),...,(n-1 \ n) }[/math] является порождающим множеством [math]\displaystyle{ S_n }[/math]. С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками [math]\displaystyle{ (12),(12...n) }[/math], так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.
Центр симметрической группы тривиален при [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math]. Коммутантом [math]\displaystyle{ S_n }[/math] является знакопеременная группа [math]\displaystyle{ A_n }[/math]; причём при [math]\displaystyle{ n\neq 4 }[/math] [math]\displaystyle{ A_n }[/math] — единственная нетривиальная нормальная подгруппа [math]\displaystyle{ S_n }[/math], а [math]\displaystyle{ S_4 }[/math] имеет ещё одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна.
Представления
Любая подгруппа [math]\displaystyle{ G }[/math] группы перестановок [math]\displaystyle{ S_n }[/math] представима группой матриц из [math]\displaystyle{ SL(n,\Z) }[/math], при этом каждой перестановке [math]\displaystyle{ \pi: i\to\pi (i) }[/math] соответствует перестановочная матрица (матрица, у которой все элементы в ячейках [math]\displaystyle{ (i,\pi(i)) }[/math] равны 1, а прочие элементы равны нулю); например, перестановка [math]\displaystyle{ (231) }[/math] представляется следующей матрицей [math]\displaystyle{ 3\times 3 }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]
Подгруппа такой группы, составленная из матриц с определителем, равным 1, изоморфна знакопеременной группе [math]\displaystyle{ A_n }[/math].
Существуют и другие представления симметрических групп, например, группа симметрии (состоящая из вращений и отражений) додекаэдра изоморфна [math]\displaystyle{ S_5 }[/math], а группа вращений куба изоморфна [math]\displaystyle{ S_4 }[/math].
Примечания
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал-Пресс, 2001.
- Каргаполов М. И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.: Наука, Физматлит, 1982.
- Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — М. издательство=Физматлит, 2004.
- Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, Физматлит, 1967.
- Постников М. М. Теория Галуа. — М.: Физматлит, 1963.