Абелева группа

А́белева (или коммутати́вная) гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа [math]\displaystyle{ (G,\;*) }[/math] абелева, если [math]\displaystyle{ a*b=b*a }[/math] для любых двух элементов [math]\displaystyle{ a,\;b\in G }[/math].

Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком [math]\displaystyle{ + }[/math] и называется сложением^[1]

Название дано в честь норвежского математика Нильса Абеля.

Примеры

Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
Любая циклическая группа [math]\displaystyle{ G=\langle a\rangle }[/math] абелева. Действительно, для любых [math]\displaystyle{ x=a^n }[/math] и [math]\displaystyle{ y=a^m }[/math] верно, что
[math]\displaystyle{ xy = a^ma^n=a^{m+n}=a^na^m=yx }[/math].
- В частности, множество [math]\displaystyle{ \Z }[/math] целых чисел есть коммутативная группа по сложению; это же верно и для классов вычетов [math]\displaystyle{ \Z/n\Z\,. }[/math]
Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле [math]\displaystyle{ \R }[/math] вещественных чисел с операцией сложения чисел.
Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.

Связанные определения

По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность векторного пространства над полем [math]\displaystyle{ \Q }[/math] рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства

Конечно порождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
- Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть [math]\displaystyle{ n }[/math] — натуральное число, а [math]\displaystyle{ x }[/math] — элемент коммутативной группы [math]\displaystyle{ G }[/math] с операцией, обозначаемой +, тогда [math]\displaystyle{ nx }[/math] можно определить как [math]\displaystyle{ x+x+\ldots+x }[/math] ([math]\displaystyle{ n }[/math] раз) и [math]\displaystyle{ (-n)x = -(nx) }[/math].
- Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над областью главных идеалов [math]\displaystyle{ \Z }[/math]), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорождённых абелевых групп, которую можно обобщить до классификации произвольных конечнопорождённых модулей над областью главных идеалов.
Множество гомоморфизмов [math]\displaystyle{ \operatorname{Hom}(G,\;H) }[/math] всех групповых гомоморфизмов из [math]\displaystyle{ G }[/math] в [math]\displaystyle{ H }[/math] само является абелевой группой. Действительно, пусть [math]\displaystyle{ f,\;g:G\to H }[/math] — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма [math]\displaystyle{ f+g }[/math], заданная как [math]\displaystyle{ (f+g)(x)=f(x)+g(x) }[/math], тоже является гомоморфизмом (это неверно, если [math]\displaystyle{ H }[/math] не является коммутативной группой).
Понятие абелевости тесно связано с понятием центра [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math] — множества, состоящего из тех её элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы [math]\displaystyle{ G }[/math], и играющего роль своеобразной «меры абелевости». Группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.

Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. [math]\displaystyle{ \Z_{mn} }[/math] изоморфно прямой сумме [math]\displaystyle{ \Z_m }[/math] и [math]\displaystyle{ \Z_n }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math] взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу [math]\displaystyle{ G }[/math] в форме прямой суммы

[math]\displaystyle{ \Z_{k_1}\oplus\ldots\oplus\Z_{k_u} }[/math]

двумя различными способами:

Где числа [math]\displaystyle{ k_1,\;\ldots,\;k_u }[/math] степени простых
Где [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] делит [math]\displaystyle{ k_2 }[/math], которое делит [math]\displaystyle{ k_3 }[/math], и так далее до [math]\displaystyle{ k_u }[/math].

Например, [math]\displaystyle{ \Z/15\Z=\Z_{15} }[/math] может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: [math]\displaystyle{ \Z/15\Z=\{0,\;5,\;10\}\oplus\{0,\;3,\;6,\;9,\;12\} }[/math]. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать; в результате приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщения

Дифференциальной группой называется абелева группа [math]\displaystyle{ \mathbf{C} }[/math], в которой задан такой эндоморфизм [math]\displaystyle{ d\colon\mathbf{C}\to\mathbf{C} }[/math], что [math]\displaystyle{ d^2=0 }[/math]. Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра [math]\displaystyle{ \ker\,d }[/math] — циклами, элементы образа [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}\,d }[/math] — границами.
Кольцо — абелева группа, на которой задана дополнительная бинарная операция «умножения», удовлетворяющая аксиомам дистрибутивности.
Метабелева группа — группа, коммутант которой абелев.
Нильпотентная группа — группа, центральный ряд которой конечен.
Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой стабилизируется на тривиальной группе.
Дедекиндова группа — группа, всякая подгруппа которой нормальна.

См. также

Алгебраическая система

Примечания

↑ Абелева группа — статья из Математической энциклопедии. Ю. Л. Ершов

Литература

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7..
Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. — Мир, 1974.

[1] Абелева группа — статья из Математической энциклопедии. Ю. Л. Ершов

[1]

Теория групп
Основные понятия	Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа Произведение Прямое Полупрямое Свободное
Алгебраические свойства	Коммутативная группа Циклическая группа Упорядоченная группа Группа преобразований Разрешимая группа Лемма Шрайера Теорема Лагранжа Теоремы Силова Классификация простых конечных групп
Конечные группы	Конечная циклическая группа C_n Симметрическая группа S_n Диэдрическая группа D_n Знакопеременная группа A_n Четверная группа Клейна Группы Матьё M₁₁ M₁₂ M₂₂ M₂₃ M₂₄ Группы Конвея Co₁ Co₂ Co₃ Группы Янко J₁ J₂ J₃ J₄ Группы Фишера F₂₂ F₂₃ F₂₄ Монстр (М)
Топологические группы	Группы Ли Ортогональная группа O(n) Специальная ортогональная группа SO(n) Унитарная группа U(n) Специальная унитарная группа SU(n) Симплектическая группа Sp(n) Исключительные простые Группа Лоренца Группа Пуанкаре
Алгоритмы на группах	Шрайера — Симса Тодда — Коксетера преобразование Фурье