Абелева группа

Запрос «Неабелева группа» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

А́белева (или коммутати́вная) гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа [math]\displaystyle{ (G,\;*) }[/math] абелева, если [math]\displaystyle{ a*b=b*a }[/math] для любых двух элементов [math]\displaystyle{ a,\;b\in G }[/math].

Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком [math]\displaystyle{ + }[/math] и называется сложением

Название дано в честь норвежского математика Нильса Абеля.

Примеры

• Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
• Любая циклическая группа [math]\displaystyle{ G=\langle a\rangle }[/math] абелева. Действительно, для любых [math]\displaystyle{ x=a^n }[/math] и [math]\displaystyle{ y=a^m }[/math] верно, что

  [math]\displaystyle{ xy = a^ma^n=a^{m+n}=a^na^m=yx }[/math].

  • В частности, множество [math]\displaystyle{ \Z }[/math] целых чисел есть коммутативная группа по сложению; это же верно и для классов вычетов [math]\displaystyle{ \Z/n\Z\,. }[/math]
• Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле [math]\displaystyle{ \R }[/math] вещественных чисел с операцией сложения чисел.
• Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.

Связанные определения

• По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность векторного пространства над полем [math]\displaystyle{ \Q }[/math] рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства

• Конечно порождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
  • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
• Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть [math]\displaystyle{ n }[/math] — натуральное число, а [math]\displaystyle{ x }[/math] — элемент коммутативной группы [math]\displaystyle{ G }[/math] с операцией, обозначаемой +, тогда [math]\displaystyle{ nx }[/math] можно определить как [math]\displaystyle{ x+x+\ldots+x }[/math] ([math]\displaystyle{ n }[/math] раз) и [math]\displaystyle{ (-n)x = -(nx) }[/math].
  • Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над областью главных идеалов [math]\displaystyle{ \Z }[/math]), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорождённых абелевых групп, которую можно обобщить до классификации произвольных конечнопорождённых модулей над областью главных идеалов.
• Множество гомоморфизмов [math]\displaystyle{ \operatorname{Hom}(G,\;H) }[/math] всех групповых гомоморфизмов из [math]\displaystyle{ G }[/math] в [math]\displaystyle{ H }[/math] само является абелевой группой. Действительно, пусть [math]\displaystyle{ f,\;g:G\to H }[/math] — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма [math]\displaystyle{ f+g }[/math], заданная как [math]\displaystyle{ (f+g)(x)=f(x)+g(x) }[/math], тоже является гомоморфизмом (это неверно, если [math]\displaystyle{ H }[/math] не является коммутативной группой).
• Понятие абелевости тесно связано с понятием центра [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math] — множества, состоящего из тех её элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы [math]\displaystyle{ G }[/math], и играющего роль своеобразной «меры абелевости». Группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.

Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. [math]\displaystyle{ \Z_{mn} }[/math] изоморфно прямой сумме [math]\displaystyle{ \Z_m }[/math] и [math]\displaystyle{ \Z_n }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math] взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу [math]\displaystyle{ G }[/math] в форме прямой суммы

[math]\displaystyle{ \Z_{k_1}\oplus\ldots\oplus\Z_{k_u} }[/math]

двумя различными способами:

• Где числа [math]\displaystyle{ k_1,\;\ldots,\;k_u }[/math] степени простых
• Где [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] делит [math]\displaystyle{ k_2 }[/math], которое делит [math]\displaystyle{ k_3 }[/math], и так далее до [math]\displaystyle{ k_u }[/math].

Например, [math]\displaystyle{ \Z/15\Z=\Z_{15} }[/math] может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: [math]\displaystyle{ \Z/15\Z=\{0,\;5,\;10\}\oplus\{0,\;3,\;6,\;9,\;12\} }[/math]. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать; в результате приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщения

• Дифференциальной группой называется абелева группа [math]\displaystyle{ \mathbf{C} }[/math], в которой задан такой эндоморфизм [math]\displaystyle{ d\colon\mathbf{C}\to\mathbf{C} }[/math], что [math]\displaystyle{ d^2=0 }[/math]. Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра [math]\displaystyle{ \ker\,d }[/math] — циклами, элементы образа [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}\,d }[/math] — границами.
• Кольцо — абелева группа, на которой задана дополнительная бинарная операция «умножения», удовлетворяющая аксиомам дистрибутивности.
• Метабелева группа — группа, коммутант которой абелев.
• Нильпотентная группа — группа, центральный ряд которой конечен.
• Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой стабилизируется на тривиальной группе.
• Дедекиндова группа — группа, всякая подгруппа которой нормальна.

См. также

• Алгебраическая система

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7..
• Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. — Мир, 1974.