Ортогональная группа
Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного векторного пространства [math]\displaystyle{ V }[/math] над полем [math]\displaystyle{ k }[/math], сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму [math]\displaystyle{ Q }[/math] на [math]\displaystyle{ V }[/math] (то есть таких линейных преобразований [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], что [math]\displaystyle{ Q(\varphi(v))=Q(v) }[/math] для любого [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]).
Обозначения и связанные определения
- Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно [math]\displaystyle{ Q }[/math]) преобразованиями [math]\displaystyle{ V }[/math], а также автоморфизмами формы [math]\displaystyle{ Q }[/math] (точнее, автоморфизмами пространства [math]\displaystyle{ V }[/math] относительно формы [math]\displaystyle{ Q }[/math]).
- Обозначается [math]\displaystyle{ O_n }[/math], [math]\displaystyle{ O_n(k) }[/math], [math]\displaystyle{ O_n(Q) }[/math] и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
- Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой ([math]\displaystyle{ l }[/math] плюсов, [math]\displaystyle{ m }[/math] минусов) где [math]\displaystyle{ n = l + m }[/math], обозначается [math]\displaystyle{ O(l,m) }[/math], см. напр. O(1,3).
Свойства
- В случае, если характеристика основного поля не равна двум, то с [math]\displaystyle{ Q }[/math] связана невырожденная симметрическая билинейная форма [math]\displaystyle{ F }[/math] на [math]\displaystyle{ V }[/math], определенная формулой
- [math]\displaystyle{ F(u,\;v)=\frac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{2}. }[/math]
- Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства [math]\displaystyle{ V }[/math], которые сохраняют [math]\displaystyle{ F }[/math], и обозначается через [math]\displaystyle{ O_n(k,\;F) }[/math] или (когда ясно о каком поле [math]\displaystyle{ k }[/math] и форме [math]\displaystyle{ F }[/math] идёт речь) просто через [math]\displaystyle{ O_n }[/math].
- Если [math]\displaystyle{ B }[/math] — матрица формы [math]\displaystyle{ F }[/math] в неком базисе пространства [math]\displaystyle{ V }[/math], то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц [math]\displaystyle{ A }[/math] с коэффициентами в [math]\displaystyle{ k }[/math], что
- [math]\displaystyle{ A^TBA=B. }[/math]
- В частности, если базис таков, что [math]\displaystyle{ Q }[/math] является суммой квадратов координат (то есть, матрица [math]\displaystyle{ B }[/math] единична), то такие матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] называются ортогональными.
- Над полем вещественных чисел, группа [math]\displaystyle{ O_n({\mathbb R},\;V) }[/math] компактна тогда и только тогда, когда форма [math]\displaystyle{ Q }[/math] знакоопределена.
- В этом случае любой элемент из [math]\displaystyle{ O_n({\mathbb R}) }[/math], для подходящего базиаса представляется как блочно-диагональная матрица
- [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \begin{matrix}R_1 & & \\ & \ddots & \\ & & R_k\end{matrix} & 0 \\ 0 & \begin{matrix}\pm 1 & & \\ & \ddots & \\ & & \pm 1\end{matrix} \\ \end{bmatrix} }[/math]
- В этом случае любой элемент из [math]\displaystyle{ O_n({\mathbb R}) }[/math], для подходящего базиаса представляется как блочно-диагональная матрица
- где R1, ..., Rk — 2х2 матрицы поворотов; теорема вращения Эйлера является частным случем этого утверждения.
Другие группы
Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL([math]\displaystyle{ n }[/math]). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу [math]\displaystyle{ SO(n,Q) }[/math], обозначаемую так же, как и ортогональная группа, но с добавлением буквы «S». [math]\displaystyle{ SO(n,Q) }[/math], по построению, является также подгруппой специальной линейной группы [math]\displaystyle{ SL(n) }[/math].
