Обратный элемент

Обра́тный элеме́нт — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения).

Определения

Пусть [math]\displaystyle{ (M,\cdot) }[/math] — множество [math]\displaystyle{ M, }[/math] на котором определена бинарная операция, обозначаемая точкой ([math]\displaystyle{ \cdot }[/math]), с нейтральным элементом [math]\displaystyle{ e }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ x,y }[/math] — пара произвольных элементов множества [math]\displaystyle{ M }[/math]. Если справедливо равенство [math]\displaystyle{ x \cdot y = e, }[/math] то [math]\displaystyle{ y }[/math] называется правым обратным (или обра́тным спра́ва) к [math]\displaystyle{ x }[/math].

Аналогичным образом, если выполнено равенство [math]\displaystyle{ y \cdot x = e, }[/math] то [math]\displaystyle{ y }[/math] называется левым обратным (обра́тным сле́ва) к [math]\displaystyle{ x. }[/math]

Элемент [math]\displaystyle{ y\in M }[/math], являющийся обратным к [math]\displaystyle{ x }[/math] и справа, и слева, то есть такой, что
[math]\displaystyle{ x \cdot y = y \cdot x = e, }[/math]
называется просто обратным к [math]\displaystyle{ x }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ x^{-1} }[/math]. Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.

Замечания

Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация [math]\displaystyle{ (M,+) }[/math], то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается [math]\displaystyle{ -x }[/math].
Вообще говоря, один и тот же элемент [math]\displaystyle{ x\in M }[/math] может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и левые не обязаны совпадать с правыми.

Свойства

Пусть операция [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] ассоциативна. Тогда если для элемента [math]\displaystyle{ x\in M }[/math] определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.

Следствие: в моноиде у каждого элемента имеется не более одного обратного. Все обратимые элементы моноида образуют группу; эта группа не пуста, так как содержит по крайней мере нейтральный элемент.

Примеры

Множество	Бинарная операция	Обратный элемент
Вещественные числа	[math]\displaystyle{ + }[/math] (сложение)	[math]\displaystyle{ -x }[/math] (противоположное число)
Вещественные числа, не равные нулю	[math]\displaystyle{ \cdot }[/math] (умножение)	[math]\displaystyle{ 1/x }[/math] (обратное число)
Функции вида [math]\displaystyle{ f:M\to M }[/math]	[math]\displaystyle{ \circ }[/math] (композиция функций)	[math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] (обратная функция)

См. также

Группа