Композиция функций

Компози́ция (суперпози́ция) фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций [math]\displaystyle{ F }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ G\circ F }[/math], что обозначает применение функции [math]\displaystyle{ G }[/math] к результату функции [math]\displaystyle{ F }[/math], то есть [math]\displaystyle{ (G\circ F)(x) = G(F(x)) }[/math].

Определение

Пусть даны две функции [math]\displaystyle{ F\colon X \to Y }[/math] и [math]\displaystyle{ G\colon F[X] \to Z, }[/math] где [math]\displaystyle{ F[X] \subseteq Y }[/math] — образ множества [math]\displaystyle{ X. }[/math] Тогда их композицией называется функция [math]\displaystyle{ G \circ F\colon X \to Z }[/math], определённая равенством:

[math]\displaystyle{ (G \circ F)(x) = G(F(x)),\; x\in X. }[/math]

Связанные определения

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, каждая из каких имеет один аргумент. Также он может употребляться в ситуации, когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например, сложной функцией нескольких переменных можно назвать функцию [math]\displaystyle{ G }[/math] вида

  [math]\displaystyle{ G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)), }[/math]

потому что она представляет собой функцию [math]\displaystyle{ F }[/math], на вход которой подаются результаты функций [math]\displaystyle{ u }[/math] и [math]\displaystyle{ v }[/math].

Свойства композиции

• Композиция ассоциативна:

  [math]\displaystyle{ (H \circ G ) \circ F = H \circ ( G \circ F ). }[/math]

• Если [math]\displaystyle{ F = \mathrm{id}_X }[/math] — тождественное отображение на [math]\displaystyle{ X }[/math], то есть

  [math]\displaystyle{ F(x) = \mathrm{id}_X(x) = x,\; \forall x \in X, }[/math]

то [math]\displaystyle{ G \circ F = G. }[/math]

• Если [math]\displaystyle{ G = \mathrm{id}_Y }[/math] — тождественное отображение на [math]\displaystyle{ Y }[/math], то есть

  [math]\displaystyle{ G(y) = \mathrm{id}_Y(y) = y,\; \forall y \in Y, }[/math]

то [math]\displaystyle{ G \circ F = F. }[/math]

• Композиция отображений [math]\displaystyle{ F\colon X \to X }[/math], [math]\displaystyle{ G\colon X \to X }[/math], вообще говоря, не коммутативна, то есть [math]\displaystyle{ F \circ G \not= G \circ F. }[/math] Например, даны функции [math]\displaystyle{ F\colon x\mapsto x^2,~G\colon x\mapsto2x }[/math] — тогда [math]\displaystyle{ G\circ F\colon x\mapsto 2x^2, }[/math] однако [math]\displaystyle{ F\circ G\colon x\mapsto 4x^2. }[/math]

Дополнительные свойства

• Пусть функция [math]\displaystyle{ f\colon X \to Y }[/math] имеет в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] предел [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a}f(x) = b }[/math], а функция [math]\displaystyle{ g\colon f[X] \subseteq Y \to Z }[/math] имеет в точке [math]\displaystyle{ b }[/math] предел [math]\displaystyle{ \lim_{y \to b}g(y) }[/math]. Тогда, если существует проколотая окрестность точки [math]\displaystyle{ a }[/math], пересечение которой с множеством [math]\displaystyle{ X }[/math] отображается функцией [math]\displaystyle{ f\colon X \to Y }[/math] в проколотую окрестность точки [math]\displaystyle{ b }[/math], то в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] существует предел композиции функций [math]\displaystyle{ g \circ f\colon X \to Z }[/math] и выполнено равенство: [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a}g(f(x)) = \lim_{y \to b}g(y). }[/math]
• Если функция [math]\displaystyle{ f\colon X \to Y }[/math] имеет в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] предел [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a}f(x) = b }[/math], а функция [math]\displaystyle{ g\colon f(X) \subseteq Y \to Z }[/math] непрерывна в точке [math]\displaystyle{ b }[/math], то в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] существует предел композиции функций [math]\displaystyle{ g \circ f\colon X \to Z }[/math] и выполнено равенство: [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a}g(f(x)) = g(\lim_{x \to a}f(x))=g(b). }[/math]
• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y), (Z,\mathcal{T}_Z) }[/math] — топологические пространства. Пусть [math]\displaystyle{ f\colon X \to Y }[/math] и [math]\displaystyle{ g\colon f[X] \subseteq Y \to Z }[/math] — две функции, [math]\displaystyle{ y_0 = f(x_0) }[/math], [math]\displaystyle{ f \in C(x_0) }[/math] и [math]\displaystyle{ g\in C(y_0), }[/math] где [math]\displaystyle{ C }[/math] — это множество всех функций, первая производная которых в заданной точке существует. Тогда [math]\displaystyle{ g \circ f \in C(x_0) }[/math].

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть [math]\displaystyle{ f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math], [math]\displaystyle{ y_0 = f(x_0) }[/math], [math]\displaystyle{ f \in \mathcal{D}(x_0) }[/math] и [math]\displaystyle{ g \in \mathcal{D}(y_0) }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ g \circ f \in \mathcal{D}(x_0) }[/math], и

[math]\displaystyle{ (g \circ f)'(x_0) = g'(y_0) \cdot f'(x_0) }[/math].

Литература

• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0487-Х.