Композиция функций

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Композиция отображений»)

Компози́ция (суперпози́ция) фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций [math]\displaystyle{ F }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ G\circ F }[/math][1][2], что обозначает применение функции [math]\displaystyle{ G }[/math] к результату функции [math]\displaystyle{ F }[/math], то есть [math]\displaystyle{ (G\circ F)(x) = G(F(x)) }[/math].

Определение

Пусть даны две функции [math]\displaystyle{ F\colon X \to Y }[/math] и [math]\displaystyle{ G\colon F[X] \to Z, }[/math] где [math]\displaystyle{ F[X] \subseteq Y }[/math]образ множества [math]\displaystyle{ X. }[/math] Тогда их композицией называется функция [math]\displaystyle{ G \circ F\colon X \to Z }[/math], определённая равенством[3]:

[math]\displaystyle{ (G \circ F)(x) = G(F(x)),\; x\in X. }[/math]

Связанные определения

  • Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, каждая из каких имеет один аргумент[4]. Также он может употребляться в ситуации, когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных[5]. Например, сложной функцией нескольких переменных можно назвать функцию [math]\displaystyle{ G }[/math] вида
    [math]\displaystyle{ G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)), }[/math]
потому что она представляет собой функцию [math]\displaystyle{ F }[/math], на вход которой подаются результаты функций [math]\displaystyle{ u }[/math] и [math]\displaystyle{ v }[/math].

Свойства композиции[3]

то [math]\displaystyle{ G \circ F = G. }[/math]
  • Если [math]\displaystyle{ G = \mathrm{id}_Y }[/math] — тождественное отображение на [math]\displaystyle{ Y }[/math], то есть
    [math]\displaystyle{ G(y) = \mathrm{id}_Y(y) = y,\; \forall y \in Y, }[/math]
то [math]\displaystyle{ G \circ F = F. }[/math]
  • Композиция отображений [math]\displaystyle{ F\colon X \to X }[/math], [math]\displaystyle{ G\colon X \to X }[/math], вообще говоря, не коммутативна, то есть [math]\displaystyle{ F \circ G \not= G \circ F. }[/math] Например, даны функции [math]\displaystyle{ F\colon x\mapsto x^2,~G\colon x\mapsto2x }[/math] — тогда [math]\displaystyle{ G\circ F\colon x\mapsto 2x^2, }[/math] однако [math]\displaystyle{ F\circ G\colon x\mapsto 4x^2. }[/math]

Дополнительные свойства

  • Пусть функция [math]\displaystyle{ f\colon X \to Y }[/math] имеет в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] предел [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a}f(x) = b }[/math], а функция [math]\displaystyle{ g\colon f[X] \subseteq Y \to Z }[/math] имеет в точке [math]\displaystyle{ b }[/math] предел [math]\displaystyle{ \lim_{y \to b}g(y) }[/math]. Тогда, если существует проколотая окрестность точки [math]\displaystyle{ a }[/math], пересечение которой с множеством [math]\displaystyle{ X }[/math] отображается функцией [math]\displaystyle{ f\colon X \to Y }[/math] в проколотую окрестность точки [math]\displaystyle{ b }[/math], то в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] существует предел композиции функций [math]\displaystyle{ g \circ f\colon X \to Z }[/math] и выполнено равенство: [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a}g(f(x)) = \lim_{y \to b}g(y). }[/math]
  • Если функция [math]\displaystyle{ f\colon X \to Y }[/math] имеет в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] предел [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a}f(x) = b }[/math], а функция [math]\displaystyle{ g\colon f(X) \subseteq Y \to Z }[/math] непрерывна в точке [math]\displaystyle{ b }[/math], то в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] существует предел композиции функций [math]\displaystyle{ g \circ f\colon X \to Z }[/math] и выполнено равенство: [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a}g(f(x)) = g(\lim_{x \to a}f(x))=g(b). }[/math]
  • Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y), (Z,\mathcal{T}_Z) }[/math]топологические пространства. Пусть [math]\displaystyle{ f\colon X \to Y }[/math] и [math]\displaystyle{ g\colon f[X] \subseteq Y \to Z }[/math] — две функции, [math]\displaystyle{ y_0 = f(x_0) }[/math], [math]\displaystyle{ f \in C(x_0) }[/math] и [math]\displaystyle{ g\in C(y_0), }[/math] где [math]\displaystyle{ C }[/math] — это множество всех функций, первая производная которых в заданной точке существует. Тогда [math]\displaystyle{ g \circ f \in C(x_0) }[/math].
  • Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть [math]\displaystyle{ f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math], [math]\displaystyle{ y_0 = f(x_0) }[/math], [math]\displaystyle{ f \in \mathcal{D}(x_0) }[/math] и [math]\displaystyle{ g \in \mathcal{D}(y_0) }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ g \circ f \in \mathcal{D}(x_0) }[/math], и
[math]\displaystyle{ (g \circ f)'(x_0) = g'(y_0) \cdot f'(x_0) }[/math].

Примечания

  1. Обозначение. Дата обращения: 10 мая 2021. Архивировано 24 февраля 2021 года.
  2. Composition of Functions. www.mathsisfun.com. Дата обращения: 10 мая 2021. Архивировано 31 декабря 2020 года.
  3. 3,0 3,1 Кострикин, 2004, с. 37-38.
  4. Производная сложной функции. www.math24.ru. Дата обращения: 10 мая 2021. Архивировано 10 мая 2021 года.
  5. функции нескольких переменных. Дата обращения: 10 мая 2021. Архивировано 10 мая 2021 года.

Литература

  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0487-Х.