Факторгруппа
Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией.
Факторгруппа группы [math]\displaystyle{ G }[/math] по нормальной подгруппе [math]\displaystyle{ H }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ G/H }[/math].
Образ группы при гомоморфизме изоморфен её факторгруппе по ядру этого гомоморфизма.
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] — группа, [math]\displaystyle{ H }[/math] — её нормальная подгруппа и [math]\displaystyle{ a \in G }[/math] — произвольный элемент. Тогда на классах смежности [math]\displaystyle{ H }[/math] в [math]\displaystyle{ G }[/math]
- [math]\displaystyle{ aH=\{\,ah\mid\,h\in H\} }[/math]
можно ввести умножение:
- [math]\displaystyle{ (aH)(bH)=abH }[/math]
Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если [math]\displaystyle{ aH=a'H }[/math] и [math]\displaystyle{ bH=b'H }[/math], то [math]\displaystyle{ abH=a'b'H }[/math]. Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа [math]\displaystyle{ G/H }[/math] называется факторгруппой [math]\displaystyle{ G }[/math] по [math]\displaystyle{ H }[/math].
Свойства
- Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма [math]\displaystyle{ \varphi:G\to K }[/math]
- [math]\displaystyle{ G / \mathrm{Ker}\, \varphi \cong \varphi (G) }[/math],
- то есть факторгруппа [math]\displaystyle{ G }[/math] по ядру [math]\displaystyle{ \mathrm{Ker}\, \varphi }[/math] изоморфна её образу [math]\displaystyle{ \varphi (G) }[/math] в [math]\displaystyle{ K }[/math].
- Отображение [math]\displaystyle{ a \mapsto aH }[/math] задаёт естественный гомоморфизм [math]\displaystyle{ G \to G/H }[/math].
- Порядок [math]\displaystyle{ G/H }[/math] равен индексу подгруппы [math]\displaystyle{ [G:H] }[/math]. В случае конечной группы [math]\displaystyle{ G }[/math] он равен [math]\displaystyle{ |G|/|H| }[/math].
- Если [math]\displaystyle{ G }[/math] абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и [math]\displaystyle{ G/H }[/math] будет обладать тем же свойством.
- [math]\displaystyle{ G/G }[/math] изоморфна тривиальной группе ([math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]), [math]\displaystyle{ G/{e} }[/math] изоморфна [math]\displaystyle{ G }[/math].
Примеры
- Пусть [math]\displaystyle{ G = \mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ H = n\mathbb{Z} }[/math], тогда [math]\displaystyle{ G/H }[/math] изоморфна [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math].
- Пусть [math]\displaystyle{ G = \mathbf{UT}_n }[/math] (группа невырожденных верхнетреугольных матриц), [math]\displaystyle{ H = \mathbf{SUT}_n }[/math] (группа верхних унитреугольных матриц), тогда [math]\displaystyle{ G/H }[/math] изоморфна группе диагональных матриц.
- Пусть [math]\displaystyle{ G = S_4 }[/math] (симметрическая группа), [math]\displaystyle{ H = V_4 }[/math] (четверная группа Клейна, состоящая из перестановок e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) тогда [math]\displaystyle{ G/H }[/math] изоморфна [math]\displaystyle{ S_3 }[/math].
- Пусть [math]\displaystyle{ G = S_n }[/math] (симметрическая группа), [math]\displaystyle{ H = A_n }[/math] (знакопеременная группа), тогда [math]\displaystyle{ G/H }[/math] изоморфна [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math].
- Пусть [math]\displaystyle{ G = Q_8 }[/math] (группа кватернионов), [math]\displaystyle{ H = \mathbb{Z}_2 }[/math](циклическая группа, состоящая из 1, −1), тогда [math]\displaystyle{ G/H }[/math] изоморфна [math]\displaystyle{ V_4 }[/math].
Вариации и обобщения
Примечания
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7.
