Унитарная группа
Унитарной группой (обозн. [math]\displaystyle{ U(n) }[/math]) называется подгруппа группы [math]\displaystyle{ GL(n,\mathbb{C}) }[/math] невырожденных линейных преобразований пространства [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n, }[/math] состоящая из так называемых унитарных линейных преобразований, то есть преобразований, сохраняющих эрмитово скалярное произведение в пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n. }[/math]
А именно, если [math]\displaystyle{ \langle x,y \rangle }[/math] — эрмитово скалярное произведение, то линейное преобразование [math]\displaystyle{ A: \mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^n }[/math] унитарное, если
- [math]\displaystyle{ \forall x,y\in \Complex^n \quad \langle A(x),A(y) \rangle = \langle x,y \rangle. }[/math]
Свойства
- Определитель унитарного преобразования — комплексное число, по модулю равное [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. Унитарные преобразования с определителем [math]\displaystyle{ 1 }[/math] образуют подгруппу специальных унитарных преобразований [math]\displaystyle{ SU(n) }[/math] в [math]\displaystyle{ U(n). }[/math]
Вариации и обобщения
- Если вместо эрмитова скалярного произведения взять произведение
- [math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle=x_1\bar y_1+\dots+x_p\bar y_p-x_{p+1}\bar y_{p+1}-\dots-x_{p+q}\bar y_{p+q}, }[/math]
- то полученная группа обозначается [math]\displaystyle{ U(p,q) }[/math]
Литература
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, — Любое издание.
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Любое издание.
- Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, Москва, 2000.
- Постников М. М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, — Любое издание.
