Лемма Шрайера
Лемма Шрайера — теорема из теории групп, использующаяся в алгоритме Шрайера-Симса. Теорема была доказана Отто Шрайером в 1927 году[1].
Из теоремы следует, что у конечно порождённой группы любая подгруппа с конечным индексом также является конечно порождённой[2].
Формулировка
Пусть [math]\displaystyle{ H }[/math] — некоторая подгруппа конечно порождённой группы [math]\displaystyle{ G }[/math] с порождающим множеством [math]\displaystyle{ S }[/math], то есть, [math]\displaystyle{ G = \langle S \rangle }[/math].
Пусть [math]\displaystyle{ R = G / H }[/math] — трансверсаль левых смежных классов [math]\displaystyle{ gH }[/math]. Обозначим через [math]\displaystyle{ \overline{x} }[/math] представителя смежного класса, в котором содержится [math]\displaystyle{ x \in G }[/math].
В таких обозначениях подгруппа [math]\displaystyle{ H }[/math] порождена множеством [math]\displaystyle{ \{(\overline{sg})^{-1}sg : g \in R, s \in S \} }[/math].
Доказательство
 | Этот раздел не завершён. |
Формулировка для орбит
В алгоритме Шрайера — Симса теорема применяется для специфического случая когда [math]\displaystyle{ G }[/math] действует на множестве [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] и [math]\displaystyle{ H=G_\omega }[/math] является стабилизатором некоторого элемента [math]\displaystyle{ \omega \in \Omega }[/math].
Между элементами орбиты [math]\displaystyle{ G\omega }[/math] и трансверсалью [math]\displaystyle{ G/G_\omega }[/math] есть взаимо-однозначное соответствие. А именно, все элементы одного смежного класса переводят [math]\displaystyle{ \omega }[/math] в один и тот же элемент орбиты.
Поэтому обозначим через [math]\displaystyle{ \overline{\alpha} }[/math] элемент [math]\displaystyle{ G / G_\omega }[/math], который переводит [math]\displaystyle{ \omega }[/math] в [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], то есть, [math]\displaystyle{ \overline{\alpha} \omega = \alpha }[/math]. В таких обозначениях лемму можно записать следующим образом: [math]\displaystyle{ G_\omega = \langle\{(\overline{s\alpha})^{-1}s\overline{\alpha} |\alpha \in G_\omega, s \in S\} \rangle }[/math].
См. также
Примечания
- ↑ Otto Schreier. Die Untergruppen der freien Gruppen // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1927-12. — Т. 5, вып. 1. — С. 161–183. — ISSN 1865-8784 0025-5858, 1865-8784. — doi:10.1007/bf02952517.
- ↑ Hall, Marshall 1910-1990 Verfasser. The Theory of Groups. — ISBN 9780486816906, 0486816907.
