Действие группы

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Группа преобразований»)
Вращения вокруг центра равностороннего треугольника на углы, кратные 120°, действуют на множестве вершин этого треугольника, циклически переставляя их.

Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп.

Определения

Действие слева

Говорят, что группа [math]\displaystyle{ G }[/math] действует слева на множестве [math]\displaystyle{ M }[/math], если задан гомоморфизм [math]\displaystyle{ \Phi\colon G\to S(M) }[/math] из группы [math]\displaystyle{ G }[/math] в симметрическую группу [math]\displaystyle{ S(M) }[/math] множества [math]\displaystyle{ M }[/math]. Для краткости [math]\displaystyle{ (\Phi(g))(m) }[/math] часто записывают как [math]\displaystyle{ gm }[/math], [math]\displaystyle{ g\cdot m }[/math] или [math]\displaystyle{ g{.}m }[/math]. Элементы группы [math]\displaystyle{ G }[/math] называются в этом случае преобразованиями, а сама группа [math]\displaystyle{ G }[/math] — группой преобразований множества [math]\displaystyle{ M }[/math].

Другими словами, группа [math]\displaystyle{ G }[/math] действует слева на множестве [math]\displaystyle{ M }[/math], если задано отображение [math]\displaystyle{ G\times M\to M }[/math], обозначаемое [math]\displaystyle{ (g,m)= gm }[/math], такое, что

  1. [math]\displaystyle{ (gh)m=g(hm) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ g,\;h\in G }[/math], [math]\displaystyle{ m\in M }[/math] и
  2. [math]\displaystyle{ em=m }[/math], где [math]\displaystyle{ e }[/math] — нейтральный элемент группы [math]\displaystyle{ G }[/math]. Можно сказать, что единица группы соотносит каждому элементу [math]\displaystyle{ M }[/math] его же; такое преобразование называется тождественным.

Действие справа

Аналогично, правое действие группы [math]\displaystyle{ G }[/math] на [math]\displaystyle{ M }[/math] задаётся гомоморфизмом [math]\displaystyle{ \rho: G^{op} \to S(M) }[/math], где [math]\displaystyle{ G^{op} }[/math] — инверсная группа группы [math]\displaystyle{ G }[/math]. При этом часто используют сокращенное обозначение: [math]\displaystyle{ \rho(g)(m) =: mg }[/math]. При этом аксиомы гомоморфизма записываются следующим образом:

  1. [math]\displaystyle{ m(gh) = (mg)h, }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ me = m. }[/math]

Комментарии

  • Любое правое действие группы [math]\displaystyle{ G }[/math] — это левое действие [math]\displaystyle{ G^{op} }[/math]. Также, так как каждая группа изоморфна своей инверсной группе (изоморфизмом является, например, отображение [math]\displaystyle{ g \mapsto g^{-1} }[/math]), то из каждого правого действия можно с помощью такого изоморфизма получить левое действие. Поэтому, как правило, исследуются только левые действия.
  • Если множество [math]\displaystyle{ M }[/math] снабжено какой-то дополнительной структурой, то обычно предполагается, что отображение [math]\displaystyle{ m\mapsto gm }[/math] сохраняет эту структуру.
    • Например, если [math]\displaystyle{ M }[/math] — топологическое пространство, то [math]\displaystyle{ m\mapsto gm }[/math] предполагается непрерывным (а значит, гомеоморфизмом). Такое действие группы более точно называется непрерывным действием.

Типы действий

  • Свободное, если для любых различных [math]\displaystyle{ g,\;h\in G }[/math] и любого [math]\displaystyle{ m\in M }[/math] выполняется [math]\displaystyle{ gm\ne hm }[/math].
  • Транзитивное, если для любых [math]\displaystyle{ m,\;n\in M }[/math] существует [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ gm=n }[/math]. Другими словами, действие транзитивно, если [math]\displaystyle{ Gm=M }[/math] для любого элемента [math]\displaystyle{ m\in M }[/math].
    • Примитивное действие транзитивно и не сохраняет нетривиальных подможеств [math]\displaystyle{ M }[/math].
  • Эффективное, если для любых двух элементов [math]\displaystyle{ g\ne h }[/math] в [math]\displaystyle{ G }[/math] существует [math]\displaystyle{ m\in M }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ gm\ne hm }[/math].
  • Вполне разрывное, если для любого компактного множества [math]\displaystyle{ K }[/math] множество всех [math]\displaystyle{ g \in G }[/math], для которых пересечение [math]\displaystyle{ K \cap gK }[/math] непусто, конечно.

На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделённых соответствующими дополнительными структурами: топологических групп и групп Ли. Действие [math]\displaystyle{ \rho: G \to \mathrm{X} }[/math] топологической группы на топологическом пространстве называют непрерывным, если оно непрерывно как отображение между топологическими пространствами. Аналогично определяется гладкое действие группы Ли на гладком многообразии.

  • Непрерывное действие группы на пространстве жёстко (или квазианалитично), если из того, что некоторый элемент группы действует как тождественное отображение на некотором открытом подмножестве пространства, следует, что это единичный элемент группы.
    • Любое эффективное непрерывное действие изометриями на связном римановом многообразии обязательно жёстко, чего нельзя сказать об общих метрических пространствах. Например, действие циклической группы порядка 2 перестановкой двух рёбер на графе, образованном тремя рёбрами, выходящими из одной точки, является эффективным, но не жёстким.
  • Непрерывное действие группы называется кокомпактным, если факторпространство по этому действию компактен.

Орбиты

Подмножество

[math]\displaystyle{ Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M }[/math]

называется орбитой элемента [math]\displaystyle{ m\in M }[/math] (иногда обозначается как [math]\displaystyle{ \mathrm{Orb}(m) }[/math]).

Действие группы [math]\displaystyle{ G }[/math] на множестве [math]\displaystyle{ M }[/math] определяет на нём отношение эквивалентности

[math]\displaystyle{ \forall n,\;m\in M\;(n\,\sim_{_G} \,m)\Longleftrightarrow(\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow(Gn=Gm). }[/math]

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому если общее число классов эквивалентности равно [math]\displaystyle{ k }[/math], то

[math]\displaystyle{ M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k, }[/math]

где [math]\displaystyle{ m_1,\;m_2,\;\ldots,\;m_k\in M }[/math] попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия [math]\displaystyle{ k=1 }[/math].

Стабилизаторы

Подмножество

[math]\displaystyle{ G_m=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G }[/math]

является подгруппой группы [math]\displaystyle{ G }[/math] и называется стабилизатором, или стационарной подгруппой элемента [math]\displaystyle{ m\in M }[/math] (иногда обозначается как [math]\displaystyle{ \mathrm{Stab}(m) }[/math]).

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если [math]\displaystyle{ n\,\sim_{_G}\,m }[/math], то найдется такой элемент [math]\displaystyle{ g\in G }[/math], что

[math]\displaystyle{ G_m=gG_ng^{-1}. }[/math]

Количество элементов в орбите

[math]\displaystyle{ |Gm|=[G:G_m] }[/math], [math]\displaystyle{ G_m }[/math] — стабилизатор элемента [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ [G:G_m] }[/math] — индекс подгруппы [math]\displaystyle{ G_m\subset G }[/math], в случае конечных групп равен [math]\displaystyle{ \frac{|G|}{|G_m|} }[/math].
Размерность орбиты можно вычислить так:
[math]\displaystyle{ \dim |Gm| = \dim |G| - \dim |G_m| }[/math], где

[math]\displaystyle{ \dim|Gm| }[/math] размерность отдельной орбиты,

[math]\displaystyle{ \dim|G_m| }[/math] размерность стабилизатора, [math]\displaystyle{ \dim|G| }[/math] размерность группы Ли.

Если [math]\displaystyle{ M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k }[/math], то

[math]\displaystyle{ |M|=\sum_{t=1}^k[G:G_{m_t}] }[/math] — формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества:

  1. [math]\displaystyle{ \forall m\in M\;\sum_{n\in Gm}|G_n|=|G|; }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ \sum_{m\in M}|G_m|=k|G|; }[/math]
  3. лемму Бёрнсайда.

Примеры действий

Действия на себе

Слева

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия. В этом случае [math]\displaystyle{ M=G }[/math], и гомоморфизм [math]\displaystyle{ \Phi:G\to S(G) }[/math] задан как [math]\displaystyle{ (\Phi(g))(h)=gh }[/math].

Справа

Аналогично определяется действие на себе справа: [math]\displaystyle{ (\Phi(g))(h)=hg^{-1} }[/math].

Слева и справа

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения [math]\displaystyle{ G\times G }[/math] на [math]\displaystyle{ M=G }[/math] с гомоморфизмом [math]\displaystyle{ \Phi:G\times G\to S(G) }[/math], заданным как [math]\displaystyle{ (\Phi(g_1,\;g_2))(h)=g_1hg_2^{-1} }[/math].

Сопряжениями

Пусть [math]\displaystyle{ M=G }[/math], и гомоморфизм [math]\displaystyle{ \Phi:G\to S(G) }[/math] задан как [math]\displaystyle{ (\Phi(g))(h)=ghg^{-1} }[/math]. При этом для каждого элемента [math]\displaystyle{ h\in G }[/math] стабилизатор [math]\displaystyle{ G_h }[/math] совпадает с централизатором [math]\displaystyle{ C(h) }[/math]:

[math]\displaystyle{ G_h=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h). }[/math]

Например, для элемента [math]\displaystyle{ h }[/math] из центра группы [math]\displaystyle{ G }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ h\in Z(G) }[/math]) имеем [math]\displaystyle{ C(h)=G }[/math] и [math]\displaystyle{ G_h=G }[/math].

Вариации и обобщения

См. также

Литература

  • Винберг, Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-0607..
  • Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6..
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Действие_группы&oldid=5837816