Клотоида

Двойная Клотоида

Клотоида или спираль Корню (в западной литературе известна также как спираль Эйлера) — кривая, у которой радиус кривизны изменяется линейно как функция длины дуги:

[math]\displaystyle{ 1/R \sim L \Leftrightarrow R\cdot L = \mathrm{const}. }[/math]

Кривизна клотоиды изменяется линейно. Это позволяет использовать кривую как переходную дугу в дорожном строительстве. Если участок дороги в плане имеет форму части клотоиды, руль автомобиля при поворотах поворачивается плавно. Такой изгиб дороги позволяет проходить поворот без существенного снижения скорости.

Клотоида предложена Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных оптических задачах.

Свойства

• Параметрически клотоида может быть представлена через интегралы Френеля:

[math]\displaystyle{ S(t)=\int\limits_0^t \sin(u^2)\,du, }[/math]

[math]\displaystyle{ C(t)=\int\limits_0^t \cos(u^2)\,du }[/math]

в виде:

[math]\displaystyle{ x(t) = C(t);~ }[/math] [math]\displaystyle{ y(t) = S(t). }[/math]

• Полная длина клотоиды бесконечна.

1 — клотоида, 2 — эволюта