Базис

Ба́зис (др.-греч. βάσις «основа») — упорядоченный (конечный или бесконечный) набор векторов в векторном пространстве, такой, что любой вектор этого пространства, может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Векторы базиса называются базисными векторами.

Базис это минимальный набор векторов порождающий линейную оболочку или подпространство. Поскольку данное ненулевое подпространство может порождаться бесконечным числом различных наборов векторов, вводится понятие базиса, обозначающего наименьший набор, порождающий данное подпространство. То есть, если множество векторов [math]\displaystyle{ \{v_1,v_2,\ldots,v_m\} }[/math] является базисом подпространства [math]\displaystyle{ V }[/math], то никакое собственное подмножество множества [math]\displaystyle{ \{v_1,v_2,\ldots,v_m\} }[/math] не является базисом подпространства [math]\displaystyle{ V }[/math].

Ненулевое подпространство имеет бесконечное число базисов, но все они имеют одинаковое количество векторов. Это количество векторов базиса называется размерностью подпространства [math]\displaystyle{ V }[/math], и обозначается [math]\displaystyle{ \text{dim} V }[/math].

В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:

• Базис Га́меля (англ. Hamel basis), в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации; применяется в основном в абстрактной алгебре.
• Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды; применяется в основном в функциональном анализе, в частности, для гильбертова пространства.

В конечномерных пространствах оба определения базиса совпадают.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ V }[/math] подпространство в [math]\displaystyle{ R^n }[/math]. Базисом [math]\displaystyle{ V }[/math] будет множество векторов [math]\displaystyle{ \{v_1,v_2,\ldots,v_m\} }[/math] в [math]\displaystyle{ V }[/math] такое, что:

1. [math]\displaystyle{ V = \text{Span}\{v_1,v_2,\ldots,v_m\} }[/math] (См. линейная оболочка), то есть векторы [math]\displaystyle{ v_1,v_2,\ldots,v_m }[/math] порождают линейнную оболочку [math]\displaystyle{ V }[/math], и
2. множество [math]\displaystyle{ \{v_1,v_2,\ldots,v_m\} }[/math] является линейно независимым.

Примеры

Найдем базис [math]\displaystyle{ R^2 }[/math].

Согласно определению, нам необходимо найти два вектора в [math]\displaystyle{ R^2 }[/math], которые порождают линейную оболочку [math]\displaystyle{ R^2 }[/math] и эти векторы должны быть линейно независимыми. Одним из таких наборов будут векторы [math]\displaystyle{ \left\{\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}\right\} }[/math]:

1. Они порождают линейную оболочку, поскольку любой вектор [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix} }[/math] может быть представлен как линейная комбинация векторов [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} }[/math] и [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} }[/math]: [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}+ b\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} }[/math].
2. Они линейно независимые, поскольку равенство [math]\displaystyle{ x\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}+ y\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix} }[/math] выполянется только при условии [math]\displaystyle{ x=y=0 }[/math]

Размерность [math]\displaystyle{ R^2 }[/math] имеет значение 2.

Естественный базис

Векторы системы координат [math]\displaystyle{ e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\\0\end{pmatrix},\quad e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\\0\end{pmatrix},\quad \ldots,\quad e_{n-1}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\\0\end{pmatrix},\quad e_n=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\\1\end{pmatrix} }[/math] являются базисом [math]\displaystyle{ R^n }[/math] и называются естественным базисом (англ. standard basis). Размерностью [math]\displaystyle{ R^n }[/math] является [math]\displaystyle{ n }[/math]

Нахождение базиса подпространства

Для нахождения базиса подпростанства рекомендуется переписать подпространство как пространство столбцов или нуль-пространство (См. Линейное подпространство).

Нахождение базиса пространства столбцов

Ведущие столбцы матрицы A образуют базис подпространства столбцов матрицы [math]\displaystyle{ \text{Col}(A) }[/math]. Следует учитывать, что берутся ведущие столбцы исходной матрицы до применения к ней метода Гаусса для получения матрицы ступенчатого вида, поскольку пространство столбцов исходной матрицы не является пространством столбцов той же матрицы, приведенной в ступенчатый вид. Поскольку базисом [math]\displaystyle{ \text{Col}(A) }[/math] являются ведущие столбцы [math]\displaystyle{ A }[/math], их количество является размерностью пространства столбцов.

Нахождение базиса линейной оболочки

Нахождение базиса линейной оболочки осуществляется так же, как и нахождение базиса пространства столбцов. Линейная оболочка конечного числа векторов [math]\displaystyle{ v_1, v_2, ..., v_n }[/math] это пространство столбцов матрицы со столбцами [math]\displaystyle{ v_1, v_2, ..., v_n }[/math]:

[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix}| & |& & | \\ v_1 & v_2 & \cdots& v_n\\ |& |& & |\end{pmatrix} }[/math]

Нахождение базиса нуль-пространства

Для нахождения базиса нуль-пространства необходимо найти параметрическую векторную форму решений однородного уравнения [math]\displaystyle{ Ax = 0 }[/math]. Векторы связанные со свободными переменными в параметрической векторной форме решений множества уравнений [math]\displaystyle{ Ax = 0 }[/math] образуют базис [math]\displaystyle{ \text{Nul}(A) }[/math].

Теорема о базисе

Если [math]\displaystyle{ V }[/math] линейное подпространство размерностью [math]\displaystyle{ m }[/math], то:

• Любые [math]\displaystyle{ m }[/math] линейно независимых векторов в [math]\displaystyle{ V }[/math] образуют базис [math]\displaystyle{ V }[/math].
• Любые [math]\displaystyle{ m }[/math] векторов, которые порождают линейную оболочку [math]\displaystyle{ V }[/math] образуют базис [math]\displaystyle{ V }[/math].

Это означает, что если нам известна размерность [math]\displaystyle{ \text{dim V} = m }[/math] и есть множество [math]\displaystyle{ m }[/math] векторов [math]\displaystyle{ \mathcal{B} = \{ v_1 , v_2 ,..., v_m \} }[/math] в [math]\displaystyle{ V }[/math], то для того чтобы считать [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math] базисом [math]\displaystyle{ V }[/math] достаточно проверить одно из этих условий:

• [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math] является линейно независимым, или
• [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math] порождает линейную оболочку [math]\displaystyle{ V }[/math].

Если не известно что размерность равна [math]\displaystyle{ m }[/math], то есть неизвестно, что [math]\displaystyle{ \text{dim V} = m }[/math], то необходимо проверять оба условия. Таким образом теорему можно переформулировать следующим образом.

Теорема. Возьмем множество векторов [math]\displaystyle{ \mathcal{B} = \{ v_1 , v_2 ,..., v_m \} }[/math] в подпространстве [math]\displaystyle{ V }[/math]. Если любые два из следующих трех утверждений верны, то верным является и третье:

• [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math] является линейно независимым,
• [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math] порождает линейную оболочку [math]\displaystyle{ V }[/math],
• [math]\displaystyle{ \text{dim V} = m }[/math].

Базис как система координат

Если множество векторов [math]\displaystyle{ \mathcal{B} = \{ v_1 , v_2 ,..., v_m \} }[/math] является базисом подпространства [math]\displaystyle{ V }[/math], то любой вектор [math]\displaystyle{ x }[/math] в [math]\displaystyle{ V }[/math] может быть представлен как линейная комбинация: [math]\displaystyle{ x = c_1 v_1 + c_2 v_2 + ··· + c_m v_m }[/math] единственным способом, с уникальными для набора векторов [math]\displaystyle{ \mathcal{B} = \{ v_1 , v_2 ,..., v_m \} }[/math] коэффициентами [math]\displaystyle{ c_1, c_2, ..., c_m }[/math]. В этом случае координатами вектора будут коэффициенты [math]\displaystyle{ c_1, c_2, ..., c_m }[/math].

Если множество векторов [math]\displaystyle{ \mathcal{B} = \{ v_1 , v_2 ,..., v_m \} }[/math] является базисом подпространства [math]\displaystyle{ V }[/math] и [math]\displaystyle{ x = c_1 v_1 + c_2 v_2 + ··· + c_m v_m }[/math] является вектором в [math]\displaystyle{ V }[/math], то коэффициенты [math]\displaystyle{ c_1, c_2, ..., c_m }[/math] - это координаты [math]\displaystyle{ x }[/math] относительно [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math]. [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math]-координатный вектор вектора [math]\displaystyle{ x }[/math] это вектор [math]\displaystyle{ [x]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_m\end{pmatrix} }[/math] в [math]\displaystyle{ R_m }[/math].

Чтобы найти [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math] координаты вектора [math]\displaystyle{ x }[/math] необходимо решить векторное уравнение [math]\displaystyle{ x = c_1 v_1 + c_2 v_2 + ··· + c_m v_m }[/math] с неизвестными [math]\displaystyle{ c_1, c_2, ..., c_m }[/math]. Это означает применение метода Гаусса к расширенной матрице [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{cccc|c}| & |& & | &|\\ v_1 & v_2 & \cdots & v_m & x\\ |& |& & |&|\end{array}\right) }[/math]. Если уравнение не имеет решений, то вектор [math]\displaystyle{ x }[/math] не принадлежит линейной оболочке [math]\displaystyle{ V = \text{Span}\{v_1,v_2,\ldots,v_m\} }[/math]. Или система уравнений [math]\displaystyle{ x = c_1 v_1 + c_2 v_2 + ··· + c_m v_m }[/math] является несовместной если [math]\displaystyle{ x }[/math] не находится в [math]\displaystyle{ V }[/math].

Пример

Возьмем векторы [math]\displaystyle{ v_1 = \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 1\end{pmatrix} \quad v_2 = \begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1\end{pmatrix} }[/math]. Они образуют базис [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math] плоскости [math]\displaystyle{ V = \text{Span}\{v_1,v_2\} }[/math] в пространстве [math]\displaystyle{ R^3 }[/math]. Обозначим систему координат образованную [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math] сеткой прямых, параллельных "оси [math]\displaystyle{ v_1 }[/math]" и "оси [math]\displaystyle{ v_2 }[/math]".

[math]\displaystyle{ v_1 }[/math]-координата, также как и [math]\displaystyle{ v_2 }[/math]-координата [math]\displaystyle{ \color{red}u_1 }[/math] равна [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. Таким образом, можно записать [math]\displaystyle{ [\color{red}u_1\color{black}]_{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix} }[/math]. У других точек:

[math]\displaystyle{ [\color{blue}u_2\color{black}]_{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix}-1\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} }[/math] [math]\displaystyle{ [\color{green}u_3\color{black}]_{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} }[/math] [math]\displaystyle{ [\color{orange}u_4\color{black}]_{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix}0\\ \frac{3}{2}\end{pmatrix} }[/math]

Базис на плоскости и в трёхмерном пространстве

Базис на плоскости. Базисные векторы изображены голубым и оранжевым цветом, зелёный вектор может быть представлен в виде суммы базисных векторов, умноженных на некоторые коэффициенты (зелёный = −2 голубой + 1 оранжевый), называемой линейной комбинацией и, таким образом, линейно зависим от них, как и любой другой вектор этого пространства (плоскости), каждый из которых тоже может быть представлен в виде линейной комбинации голубого и оранжевого с какими-то коэффициентами.

Любой декартовой системе координат на плоскости или в трёхмерном пространстве (также и в пространстве другой размерности) может быть сопоставлен базис, состоящий из векторов, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси. Это относится и к прямоугольным декартовым координатам (тогда соответствующий базис называется ортогональным), так и к косоугольным декартовым координатам (которым будет соответствовать неортогональный базис).

Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.

Наиболее часто базис выбирают ортогональным и нормированным одновременно, тогда он называется ортонормированным.

В любом векторном пространстве базис можно выбрать различным образом (поменяв направления его векторов или их длины, например).

Обозначения

Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:

[math]\displaystyle{ \vec e_1, \vec e_2 }[/math]

или

[math]\displaystyle{ \vec e_x, \vec e_y }[/math]

— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости),

Декартовы координаты в трёхмерном пространстве (левая (на рисунке слева) и правая (справа) декартовы системы координат (левый и правый базисы). Базисом, соответствующим такой системе координат, является тройка векторов, каждый из которых направлен вдоль какой-то из осей (три базисных вектора изображаются исходящими из общего начала).

[math]\displaystyle{ \vec e_1, \vec e_2, \vec e_3 }[/math]

или

[math]\displaystyle{ \vec e_x, \vec e_y, \vec e_z }[/math]

— трёхмерного пространства. Для трёхмерного пространства часто по традиции используется и обозначение

[math]\displaystyle{ \vec i, \vec j, \vec k. }[/math]

Представление какого-то конкретного (любого) вектора [math]\displaystyle{ \vec a }[/math] пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например

[math]\displaystyle{ \vec a = a_x\vec e_x + a_y\vec e_y + a_z\vec e_z }[/math]

или

[math]\displaystyle{ \vec a = a_1\vec e_1 + a_2\vec e_2 + a_3\vec e_3 }[/math]

или, употребляя знак суммы [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math]:

[math]\displaystyle{ \vec a = \sum_{i=1}^3 a_i\vec e_i }[/math]

называется разложением этого вектора по этому базису.

Числовые коэффициенты [math]\displaystyle{ (a_x,a_y,a_z) }[/math] называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора [math]\displaystyle{ \vec a }[/math] в базисе [math]\displaystyle{ \vec e_x, \vec e_y, \vec e_z. }[/math] (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).

Виды базисов

Базис Гамеля

Базис Га́меля — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), и такое представление для любого вектора единственно.

Критерием единственности решения задачи разложения вектора по полной системе векторов является линейная независимость векторов, входящих в полную систему. Линейная независимость означает, что всякая линейная комбинация векторов системы, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой, имеет ненулевую сумму. То есть это эквивалентно единственности разложения нулевого вектора.

В случае линейных пространств, когда всякий ненулевой коэффициент обратим, линейная независимость эквивалентна невозможности выразить какой-либо вектор полной системы линейной комбинацией остальных векторов. (В более общей ситуации — модулей над кольцами — эти два свойства неэквивалентны). Невозможность выразить никакой вектор базиса через остальные означает минимальность базиса как полной системы векторов — при удалении любого из них теряется полнота.

В вопросе о существовании базисов основной является следующая лемма (доказательство этой леммы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора):

Лемма. Пусть [math]\displaystyle{ S_1 }[/math] — полная, а [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] — линейно независимая система векторов. Тогда система [math]\displaystyle{ S_1 }[/math] содержит набор векторов, дополняющий [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] до базиса пространства [math]\displaystyle{ V }[/math].

Доказательство

Доказательство строится на применении леммы Цорна. Рассмотрим [math]\displaystyle{ S=S_1\cup S_2 }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ L }[/math] — множество всех линейно независимых подмножеств [math]\displaystyle{ S }[/math]. Это множество частично упорядочено по отношению включения.

Докажем, что объединение любой цепи линейно независимых множеств остаётся линейно независимым. Действительно, возьмём вектора [math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n }[/math] из объединения и возьмём множества из цепи, которым эти вектора принадлежат: [math]\displaystyle{ a_1\in A_1,\ldots,a_n\in A_n }[/math]. Так как эти множества — элементы цепи, их объединение даст максимальное из них, которое линейно независимо, а значит и вектора [math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n }[/math], лежащие в этом множестве, также линейно независимы.

Объединение множеств цепи линейно независимо, а значит, содержится в множестве [math]\displaystyle{ L }[/math]. Применим к нему усиленную формулировку леммы Цорна, которая утверждает, что для каждого элемента из [math]\displaystyle{ L }[/math] есть максимальный элемент больший или равный ему. [math]\displaystyle{ S_2\in L }[/math], а значит, есть такой максимальный элемент [math]\displaystyle{ B\in L }[/math], что [math]\displaystyle{ S_2\subset B }[/math]. Легко видеть, что [math]\displaystyle{ B }[/math] есть базис. Действительно, не будь [math]\displaystyle{ B }[/math] полной системой векторов, был бы вектор [math]\displaystyle{ a\in S_1 }[/math], непредставимый как линейная комбинация векторов из [math]\displaystyle{ B }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ B\cup\{a\} }[/math] — линейно независимая система, а значит, [math]\displaystyle{ B\cup\{a\}\in L }[/math], что противоречит тому, что [math]\displaystyle{ B }[/math] —— максимальный элемент [math]\displaystyle{ L }[/math].

Следствием этой леммы являются утверждения:

1. Каждое линейное пространство обладает базисом.
2. Базис пространства можно выделить из любой полной системы векторов.
3. Всякую линейно независимую систему можно дополнить до базиса пространства V.

Любые два базиса в линейном пространстве равномощны, так что мощность базиса — величина, независящая от выбора базисных векторов. Она называется размерностью пространства (обозначается [math]\displaystyle{ \dim V }[/math]). Если линейное пространство имеет конечный базис, его размерность конечна и оно называется конечномерным, в противном случае его размерность бесконечна, и пространство называется бесконечномерным.

Выбранный базис линейного пространства позволяет ввести координатное представление векторов, чем подготавливается использование аналитических методов.

Линейное отображение из одного линейного пространства в другое однозначно определено, если задано на векторах какого-нибудь базиса. Комбинация этого факта с возможностью координатного представления векторов предопределяет применение матриц для изучения линейных отображений векторных пространств (в первую очередь — конечномерных). При этом многие факты из теории матриц получают наглядное представление и приобретают весьма содержательный смысл, когда они выражены на языке линейных пространств. И выбор базиса при этом служит хоть и вспомогательным, но в то же время ключевым средством.

Примеры

• Векторы [math]\displaystyle{ e_1, e_2,\dots,e_n }[/math] пространства [math]\displaystyle{ \R^n }[/math] образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: [math]\displaystyle{ \det\{e_1, e_2,\dots,e_n\} \neq 0 }[/math].
• В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: [math]\displaystyle{ 1, x, x^2,\dots,x^n,\dots }[/math].
• Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

Базис Гамеля и разрывная линейная функция

Базис Гамеля может быть использован для построения разрывной вещественной функции, удовлетворяющей условию [math]\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y) }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ \{r_\alpha\} }[/math] — базис Гамеля множества действительных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] над полем рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]. Тогда для каждого [math]\displaystyle{ x = k_{\alpha_1} r_{\alpha_1} + \cdots + k_{\alpha_n} r_{\alpha_n} }[/math] ([math]\displaystyle{ k_i \in \mathbb{Q} }[/math]) положим [math]\displaystyle{ f(x) = k_{\alpha_1} f_{\alpha_1} + \cdots + k_{\alpha_n} f_{\alpha_n} }[/math], где [math]\displaystyle{ f_{\alpha_n} = f(r_{\alpha_n}) }[/math] произвольные вещественные числа, например, рациональные (в этом случае функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] принимает лишь рациональные значения и тем самым гарантированно не является линейной функцией [math]\displaystyle{ f(x) = (c \cdot x) }[/math]). Такая функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] аддитивна, то есть удовлетворяет функциональному уравнению Коши [math]\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y) }[/math]. Однако в общем случае, когда [math]\displaystyle{ f_{\alpha_n} \neq c \cdot r_{\alpha_n} }[/math], она отличается от линейной функции [math]\displaystyle{ f(x) = c \cdot x }[/math] и в силу этого является разрывной в любой точке, а также не сохраняет знак, не ограничена ни сверху, ни снизу, не монотонна, не интегрируема и не измерима на любом сколь угодно малом интервале, заполняя своими значениями на этом интервале всюдо плотно числовую ось [math]\displaystyle{ \left( -\infty, +\infty \right) }[/math].

Базис Шаудера

Система векторов [math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math] топологического векторного пространства [math]\displaystyle{ L }[/math] называется базисом Шаудера (в честь Шаудера), если каждый элемент [math]\displaystyle{ f \in L }[/math] разлагается в единственный, сходящийся к [math]\displaystyle{ f }[/math] ряд по [math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math]:

[math]\displaystyle{ f= \sum_{i=1}^{\infty} f_i e_i , }[/math]

где [math]\displaystyle{ f_i }[/math] — числа, называемые коэффициентами разложения вектора [math]\displaystyle{ f }[/math] по базису [math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math].

Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд), для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.

Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций [math]\displaystyle{ \{1,\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2\pi nx), \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(2\pi nx)\mid n=1,2,\dots\} }[/math] является базисом Шаудера в пространстве [math]\displaystyle{ L^2[0,1] }[/math]. В более общих банаховых пространствах понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.

Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций C[a, b]

[math]\displaystyle{ C[a,b] }[/math] — банахово пространство с нормой [math]\displaystyle{ \|f\| = \max_{x \in [a,b]}|f(x)| }[/math]. Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в гильбертовом пространстве [math]\displaystyle{ L^2[a,b] }[/math], но не в [math]\displaystyle{ C[a,b] }[/math]. Шаудер сконструировал базис Шаудера [math]\displaystyle{ \{e_n\} }[/math] для [math]\displaystyle{ C[a,b] }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ \{x_0, x_1,\dots,x_n,\dots\} }[/math] — плотное счетное множество точек на [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], [math]\displaystyle{ x_0=a }[/math], [math]\displaystyle{ x_1=b }[/math], остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], упорядоченными произвольным образом. Положим: [math]\displaystyle{ e_0=1 }[/math], [math]\displaystyle{ e_1=(x-a)/(b-a) }[/math] — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию [math]\displaystyle{ e_n(x) }[/math] так, чтобы [math]\displaystyle{ e_n(x_i)=0 }[/math] при [math]\displaystyle{ i=0,1,\dots,n-1 }[/math] и [math]\displaystyle{ e_n(x_n)=1 }[/math]. Точки [math]\displaystyle{ x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n-1} }[/math] разбивают [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] на [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] отрезок. Точка [math]\displaystyle{ x_n }[/math] лежит строго внутри одного из них. Пусть это [math]\displaystyle{ I_n=[x_j,x_k] }[/math] для каких-то [math]\displaystyle{ j, k \in \{0,\dots,n-1\} }[/math] (порядок нумерации чисел [math]\displaystyle{ x_0, x_1, x_2,\dots }[/math] не соответствует их величине).

Разложение непрерывной функции по базису Шаудера. Показано построение [math]\displaystyle{ L_{5}(x) }[/math]. Красным цветом на графике выделен участок, на котором [math]\displaystyle{ L_{5} }[/math] отличается от [math]\displaystyle{ L_{4} }[/math] (синяя ломаная).

Положим:

[math]\displaystyle{ e_n(x)=0 }[/math] вне отрезка [math]\displaystyle{ I_n=[x_j,x_k], }[/math]

[math]\displaystyle{ e_n(x)=\frac{x-x_j}{x_n-x_j} }[/math] при [math]\displaystyle{ x \in [x_j,x_n], }[/math]

[math]\displaystyle{ e_n(x)=\frac{x_k-x}{x_k-x_n} }[/math] при [math]\displaystyle{ x \in [x_n,x_k]. }[/math]

Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции [math]\displaystyle{ f(x) \in C[a,b] }[/math] по этому базису выражаются по явным рекуррентным формулам через последовательность значений [math]\displaystyle{ f(x_i) }[/math]. Частичная сумма первых [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] членов ряда

[math]\displaystyle{ L_n(x)= \sum_{i=0}^{n} f_i e_i(x) , }[/math]

является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] с узлами в точках [math]\displaystyle{ x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n} }[/math]; формула для коэффициентов [math]\displaystyle{ f_n =f(x_n)-L_{n-1}(x_n); \; \; f_0=f(a) }[/math] (см. Рис.)

Проблема базиса

Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло, Шанковского, Дэви и Фигеля).

Происхождение термина

У Евклида и других древнегреческих математиков слово «базис» (βάσις, в значении основание) обозначало горизонтальное основание плоской или пространственной фигуры. Современный математический смысл этому термину придал Дедекинд в статье 1885 года.

Применение в кристаллографии

В векторной алгебре с помощью векторного произведения и смешанного произведения определяется понятие взаимного базиса к базису в трёхмерном евклидовом пространстве и используется для доказательства некоторых утверждений, связанных со смешанным произведением и углами между векторами. В кристаллографии взаимный базис называется кристаллографическим определением базиса, на основе которого определяется обратная решётка.

См. также

• Репер — близкое понятие.
• Ортогональный базис — специальный класс базисов (базисов Шаудера) для пространств со скалярным произведением (Гильбертово пространство).
• Базис Грёбнера
• Базис Рисса
• Конечномерное пространство
• Флаг (математика)

Литература

• Кутателадзе С. С., Основы функционального анализа. — 4 изд., испр. — Новосибирск: Изд-во Ин-та Математики СО РАН, 2001. — XII+354 c.