Одноранговая матрица

Одноранговая матрица, матрица ранга 1 (англ. rank-one matrix) — это матрица, размерность пространства столбцов (строк) которой равна единице. Например, матрица [math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\2 & 8 & 10\end{bmatrix} }[/math] имеет ранг [math]\displaystyle{ 1 }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \operatorname{rank} (A) = 1 }[/math], так как каждый её столбец является кратным первого столбца: [math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1 \\2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \end{bmatrix} }[/math]

Матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] является одноранговой [math]\displaystyle{ \operatorname{rank}(A_{m\times n}) = 1 }[/math] тогда и только тогда, когда её можно представить как произведение: [math]\displaystyle{ A=vw^t }[/math], где [math]\displaystyle{ v \in \mathbb{R}^n }[/math] и [math]\displaystyle{ w \in \mathbb{R}^m }[/math] — вектор-столбцы, а индекс [math]\displaystyle{ ^t }[/math] означает транспонирование матрицы:

[math]\displaystyle{ A= \left(\begin{array}{c} u_1\\ u_2\\ \vdots \\ u_m \end{array} \right) (v_1,\dots,v_n)=\left[u_jv_k\right]_{j=1,\dots,m;k=1,\dots,n} }[/math]

Одноранговые матрицы являются составляющими элементами матриц более высокого ранга. Матрица ранга [math]\displaystyle{ \mathfrak r_{} }[/math] может быть представлена в виде суммы [math]\displaystyle{ \mathfrak r_{} }[/math] матриц ранга [math]\displaystyle{ 1 }[/math], но не может быть представлена в виде суммы меньшего числа матриц ранга [math]\displaystyle{ 1 }[/math].